R\Q - offen/abgeschlossen

23.01.2009, 21:17

ge88

R\Q - offen/abgeschlossen

Hallo

Ich muss die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ auf Offenheit/Abgeschlossenheit untersuchen.
Ich habe mir folgendes ueberlegt :
Von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q = \{ x \in \mathbb R | x \notin \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C\mathbb Q = \{ x \in \mathbb R | x \notin \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb R \backslash \mathbb Q = C \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Stimmt das soweit?
Ich hab noch weiter gemacht :
Ich weiss, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nicht offen und nicht abgeschlossen ist, doch das heisst aber, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ offen *und* abgeschlossen ist... Ich weiss, dass das eine schliesst nicht das andere aus, aber wie koennen die irrationalen Zahlen dann ihre Haeufungspunkte enthalten? geschockt

Wo stimmt was nicht?

Und noch eine Frage - laut Definition ist $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ , wenn *ein* $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass die $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ ist. Und eine Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ heisst offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.
Wie finde ich aber so eine Umgebung, wenn ich z.b. den Punkt a von (a,b) betrachte? Das ist doch eine offene Menge, oder? Hier stimmt auch was nicht.
Ich danke im voraus!
Gruesse!

23.01.2009, 23:14

JustPassingBy

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Der Punkt a ist in (a,b) nicht enthalten, gerade deswegen ist sie ja offen.
Der Punkt a ist in [a,b] enthalten, deswegen ist sie abgeschlossen.

Und zu deiner Aufgabe: wenn du weißt, dass die rationalen Zahlen weder offen, noch abgeschlossen sind, dann hast du die Aufgabe schon gelöst.
Denn, wenn ich eine offene Menge habe, was ist dann ihr Komplement?
Und wenn ich eine abgeschlossene Menge habe, was ist ihr Komplement?

24.01.2009, 00:26

ge88

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Hmm, ich hab also damit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ untersucht und es ist richtig?

Zitat:

Der Punkt a ist in (a,b) nicht enthalten, gerade deswegen ist sie ja offen.
Der Punkt a ist in [a,b] enthalten, deswegen ist sie abgeschlossen.

Ok, dann nehmen wir den Punkt $\begin{eqnarray*} a + \epsilon \end{eqnarray*}$ . Ist er in
(a,b) enthalten? Wenn ja, dann ist er ein innerer Punkt, also es
sollte sich eine Umgebung finden lassen, die ganz in (a,b) ist.. Aber
ich muss eine Umgebung betrachten, also wie bleibt man immer in (a,b), wenn
$\begin{eqnarray*} x - \epsilon \end{eqnarray*}$ ganz nah am Rand ist? Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen unglücklich

24.01.2009, 00:38

JustPassingBy

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Ok, sagen wir x ist von beiden Rändern 1 entfernt, was würdest du als epsilon wählen?

Was ist, wenn x von beiden Rängern 1/2 entfernt ist, was dann?

Was würdest du wählen, wenn der Abstand nur noch 1/4 entfernt ist?

Und wenn x 1/8 entfernt ist?

Was wäre mit Abstand 1/16?

Was ist, wenn der Abstand d beträgt?

Ich hoffe, die Fragen helfen dir irgendwie weiter.

Und zu R\Q:
ich sehe, dass du dort etwas hingeschrieben hast, aber irgendwie trägt es nicht zur Aufgabe bei.
Erklär mir bitte nochmal, warum oder warum nicht R\Q abgeschlossen oder offen ist.

24.01.2009, 01:33

ge88

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Soweit verstanden... dass $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ unendlich klein werden kann, um meine Bedingung zu erfuellen, aber ich sehe immer noch nicht was genau dazwischen steht... also da bleibt immer ein ganz kleines stueck und darum kuemmern wir uns nicht mehr weiter (eventuell weil es so winzing klein ist geschockt

)
Verstehe ich?

Nochmal zur Erklaerung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ - ich hab folgendes ausgenutzt :
$\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ offen $\begin{eqnarray*} \iff C \mathbb A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen,

$\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen $\begin{eqnarray*} \iff C \mathbb A \end{eqnarray*}$ offen
... Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen sein muss (das wuerde dann bedeuten, dass es keine Folge von irrationalen Zahlen gibt, die gegen eine rationale Zahl konvergiert - das klingt aber nicht so richtig, oder?)
Ich hab auch eine Menge weitere Mengen so zu untersuchen, deswegen versuch ich es jetzt richtig zu verstehen...
Danke dir fuer die Hilfe Mit Zunge

25.01.2009, 15:11

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von ge88
$\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ offen $\begin{eqnarray*} \iff C \mathbb A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen,

$\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen $\begin{eqnarray*} \iff C \mathbb A \end{eqnarray*}$ offen
... Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen sein muss

Nein! Lies dir nochmal durch, was dort steht: Wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\mathbb Q \end{eqnarray*}$ offen wäre, müsste das Komplement $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ abgeschlossen sein. Ist das der Fall? Ebenso für die Abgeschlossenheit.

Du hast zwar die Äquivalenzen richtig hingeschrieben, sie aber anscheinend nicht verstanden oder total durcheinander gebracht. Äquivalent zu deinen Aussagen ist doch:

$\begin{eqnarray*} A\text{ nicht abgeschlossen}\Leftrightarrow A^C\text{ \textbf{nicht} offen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\text{ nicht offen}\Leftrightarrow A^C\text{ \textbf{nicht} abgeschlossen} \end{eqnarray*}$ .

25.01.2009, 17:51

ge88

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Oh...

http://www.cheesebuerger.de/images/smilie/konfus/n035.gif
Ich habe irgendwie die Reihenfolge von "nicht" und "<=>" vertauscht... oder...keine Ahnung..
Vielen Dank!!!

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