Lineare DGL 2. Ordnung

24.01.2009, 01:34

tribe

Lineare DGL 2. Ordnung

Hallo,

beim lösen meiner ersten DGL 2. Ordnung habe ich ein paar grundlegende Schwierigkeiten und würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y''+2y'+2y=0 \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die Lösung zur Anfangsbedingung y(0)=1, y'(0)=0

Die DGL ist linear, homogen, 2.Ordnung und besitzt konstante Koeffizienten.

Der Ansatz zur Lösung homogener DGL 2. Grades lautet:

$\begin{eqnarray*} y=Ce^{rx} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C\neq 0 \end{eqnarray*}$

Die Charakteristische Gleichung für homogene DGL 2.Ordnung lautet:

$\begin{eqnarray*} r²+ar+b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_1,r_2 \end{eqnarray*}$ sind ihre Lösungen.
Wie kommt man von der charakteristischen Gleichung auf $\begin{eqnarray*} r_1,r_2=-\frac{a}{2} +-\frac{1}{2} \sqrt{a²-4b} \end{eqnarray*}$
Die gleichung habe ich aus meiner Mitschrift. In meinem Lehrbuch wird sie nicht erwähnt, da steht dann plötzlich nur die Diskriminante da.

Da die Diskriminante kleiner als 0 ist, sind $\begin{eqnarray*} r_1,r_2 \end{eqnarray*}$ verschiedene komplexe Zahlen.

In meinem Lehrbuch wird für die Diskriminante nun die Abkürzung benutzt $\begin{eqnarray*} a²-4b=hi \end{eqnarray*}$ und somit sei $\begin{eqnarray*} r_1,r_2=-\frac{a}{2}+- \frac{h}{2} i \end{eqnarray*}$

Was passiert hier? Warum wird die Diskriminante durch zwei Variablen ersetzt und warum sieht die Gleichung dann so aus ?

Ich würde mich über jeden Rat freuen, danke schonmal für eure Geduld.

24.01.2009, 09:06

IfindU

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Von der charakteristischen Gleichung kommt man auf $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ durch die pq-Formel, man kann so r auf eine Seite bringen.

Bei der Diskriminanten würd ich erstmal nachfragen ob du die Wurzel bei $\begin{eqnarray*} a^2 -4b \end{eqnarray*}$ vergessen hast. Es würd Sinn machen dass wenn das was da raus kommt negativ ist, es in der Menge der Komplexen ist => h*i.

24.01.2009, 13:14

tribe

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Zitat:

Original von IfindU
Von der charakteristischen Gleichung kommt man auf $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ durch die pq-Formel, man kann so r auf eine Seite bringen.

da seh ich vor lauter verwirrung die einfachsten dinge nichmehr Big Laugh

Zitat:

Bei der Diskriminanten würd ich erstmal nachfragen ob du die Wurzel bei $\begin{eqnarray*} a^2 -4b \end{eqnarray*}$ vergessen hast.

Das versteh ich nicht, ich dachte die Bezeichnung Diskriminante verwendet man für den Ausdruck UNTER der Wurzel .?

Zitat:

Es würd Sinn machen dass wenn das was da raus kommt negativ ist, es in der Menge der Komplexen ist => h*i.

Das verstehe ich auch nicht. Genauer: Wieso kann man den ADDITIVEN Term durch zwei MULTIPLIKATIVE Variablen ersetzen/ausdrücken ?

Vielend Dank schonmal IfindU smile

24.01.2009, 13:29

IfindU

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Es sieht nur so aus als ob aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 -4b} = h \cdot i \end{eqnarray*}$ gemacht wurde.

Damit hier keine Missverständnisse aufkommen: i ist keine Variable, es gilt $\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \end{eqnarray*}$ . Man ist sozusagen davon ausgegangen dass $\begin{eqnarray*} a^2 -4b \end{eqnarray*}$ etwas negatives ist, also klammert man -1 aus und erhält $\begin{eqnarray*} (-1) \cdot (4b - a^2) \end{eqnarray*}$ . Jetzt steht man für $\begin{eqnarray*} -1 = i^2 \end{eqnarray*}$ ein und holt es aus der Wurzel aus. Für $\begin{eqnarray*} 4b - a^2 \end{eqnarray*}$ substituiert man eine reele Zahl $\begin{eqnarray*} h^2 \end{eqnarray*}$ und hat so die Wurzel komplett weg.

24.01.2009, 14:22

tribe

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Vielen Dank für die Ausführliche Erklärung, ist mir jetzt verständlich. smile

hab in meinen Mitschrift-Kopien doch noch was dazu gefunden:

Für den Fall dass die Diskriminante < 0:

$\begin{eqnarray*} r_1,r_2=-\frac{a}{2} +-\frac{1}{2} \sqrt{a²-4b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_1,r_2=-\frac{a}{2} +-\frac{1}{2} \sqrt{(-1)(4b-a²)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_1,r_2=-\frac{a}{2} +- \frac{i}{2}h \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h=\sqrt{4b-a²}> 0 \end{eqnarray*}$

und das dürfte ja dann das selbe sein was du mir erklärt hast smile

28.01.2009, 04:29

tribe

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So, in meinem Lehrbuch und in meiner Mitschrift geht es nun folgendermaßen weiter:

Man setzt r1 und r2 in die Gleichung $\begin{eqnarray*} y=C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} \end{eqnarray*}$ ein.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=e^{-\frac{a}{2}x } (C_1e^{\frac{hx}{2}i}+ C_2e^{-\frac{hx}{2}i}) \end{eqnarray*}$

Diese Lösung ist komplex und mann soll nun versuchen reelle Lösungen abzuleiten.
Dazu verwendet man die Identität: $\begin{eqnarray*} e^x{ix} = cos x + i sin x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{-\frac{a}{2}x } (C_1 cos\frac{hx}{2}+ C_1i sin \frac{hx}{2}+ C_2 cos-\frac{hx}{2}+C_2 i sin -\frac{hx}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{-\frac{a}{2}x } ((C_1+C_2) cos\frac{hx}{2}+ (C_1-C_2) i sin \frac{hx}{2}) \end{eqnarray*}$

Dann erhält man mit:

$\begin{eqnarray*} y=e^{-\frac{a}{2}x } (A cos\frac{hx}{2}+ B i sin \frac{hx}{2}) \end{eqnarray*}$

die reelle, allgemeine Lösung

------

In Meiner Formelsammlung steht für komplexe r1,r2 folgendes:

allgemeine Lösung: $\begin{eqnarray*} y_h=e^{\beta x} (C_1cos \gamma x+ C_2\sin\gamma x) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} r_1,r_2=\beta \pm i\gamma \end{eqnarray*}$

Ist das nun das selbe ?
-------

Nun weis ich leider nicht wie ich mit den Anfangsbedingungen vorgehe.

freue mich über jede Hilfe smile

28.01.2009, 13:06

IfindU

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Das einzige was mich stört ist, dass die allgemeine Lösung reel ist und deine noch den komplexen Sinus enthält. Die Frage ist ob man $\begin{eqnarray*} i \cdot B = C_2 \end{eqnarray*}$ setzen kann. Ansonsten stimmt die allgemeine mit deiner Lösung überein.

Die Anfangsbedingungen sind wohl dazu da die Variablen zu lösen:

Zitat:

Gesucht ist die Lösung zur Anfangsbedingung y(0)=1, y'(0)=0

Also musst du $\begin{eqnarray*} y(0) = e^{-\frac{a \cdot 0}{2}}(A \cdot cos(\frac{h \cdot 0}{2}) + B \cdot i \cdot sin(\frac{h \cdot 0}{2})) = 1 \end{eqnarray*}$ einsetzen und ausrechnen (kürzt sich so einiges schnell weg, aber den Spaß überlass ich dir.

Beim nächsten machst du das genauso, bloss leitest du die Funktion erstmal ab und setzt eben y'(0) = 0, eben wars ja y(0) = 1. Damit solltest du die Variablen rausbekommen.

Hoffentlich war es das was du gemeint hattest.

28.01.2009, 19:58

tribe

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Mir ist noch nicht ganz klar was genau ich mir durch das einsetzen nun ausrechenn will.....ich würde das nun so machn:

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} y(0) = e^{-\frac{a \cdot 0}{2}}(A \cdot cos(\frac{h \cdot 0}{2}) + B \cdot i \cdot sin(\frac{h \cdot 0}{2})) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0)=e^0 (A*cos(0)+B*i*sin(0))=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0)=1* (A*1+B*i*0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=1 \end{eqnarray*}$

Mit dem Ableiten hab ich auch so meine Probleme....

$\begin{eqnarray*} y'(x)= -\frac{a}{2}*e^{-\frac{a \cdot x}{2}}(A \cdot (-sin(\frac{h \cdot x}{2})) + B \cdot i \cdot cos(\frac{h \cdot x}{2})) = 0 \end{eqnarray*}$

?

28.01.2009, 20:03

IfindU

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Du musst die Produktregel anwenden:
f(x) = u * v [u ist hier die e-Funkion, v die Summe aus Sinus und Cosinus]
f'(x) = u'v + uv'

Ich habs mal nicht nachgeprüft, aber es sieht so aus als ob du es einfach Faktor für Faktor abgeleitet hast.

Also e ableiten mal die Klammer plus die Klammer abgeleitet mal die ursprüngliche e-Funktion ergibt dann die richtige Ableitung.

28.01.2009, 21:00

tribe

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oh danke,

$\begin{eqnarray*} y'(x)= [-\frac{a}{2} *e^{-\frac{a \cdot x}{2}}]*[A \cdot cos(\frac{h \cdot x}{2}) + B \cdot i \cdot sin(\frac{h \cdot x}{2})]+[A \cdot (-sin(\frac{h \cdot x}{2})) + B \cdot i \cdot cos(\frac{h \cdot x}{2})]*e^{-\frac{a \cdot x}{2}} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung der e-Funktion mach ich ja mit der ketten regel, und die innere ableitung also die vom exponenten müsste so stimmen denk ich. Mit der ableitung der Klammer bin ich mir da nicht so sicher..

28.01.2009, 21:10

IfindU

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Bei der e-Funktion hast du die Kettenregel beachtet, bei Sinus und Cosinus nicht - dabei läuft die genauso ab, außer dass sich dabei noch die Funktion selbst ändert.
Du musst also noch jeweils die innere Ableitung $\begin{eqnarray*} [h \cdot x \cdot 0.5]' = h \cdot 0.5 \end{eqnarray*}$ bei v' beachten. Kannst es auch gleich zusammen zu dem e ausklammern, weil es bei beiden die gleiche Innere ist.

28.01.2009, 21:56

tribe

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achso verstehe, mit der inneren ableitung multiplizieren und dann heraushebn

$\begin{eqnarray*} y'(x)= [-\frac{a}{2} *e^{-\frac{a \cdot x}{2}}]*[A \cdot cos(\frac{h \cdot x}{2}) + B \cdot i \cdot sin(\frac{h \cdot x}{2})]+[A \cdot (-sin(\frac{h \cdot x}{2})) + B \cdot i \cdot cos(\frac{h \cdot x}{2})]*\frac{a}{2}*e^{-\frac{a \cdot x}{2}} \end{eqnarray*}$

Ist die Ableitung jetz vollständig ?

Dann setz ich mal wieder ein....

28.01.2009, 22:05

IfindU

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Ich nehme mal an du hast dich rechts verschrieben, statt a/2 müsste da h/2 hin. Und dann viel Spaß, die Funktion sieht nicht wirklich einladent aus, für A kannst du übrigens auch die eben errechnete 1 schreiben, sparst du dir etwas Schreibarbeit.

28.01.2009, 22:35

tribe

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ja danke dass du mich auf den Fehler aufmerksam gemacht hast smile

$\begin{eqnarray*} y'(0)= [-\frac{a}{2} *1]*[1 \cdot 1 + B \cdot i \cdot0]+[1 \cdot 0 + B \cdot i \cdot 1]*\frac{h}{2}*1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(0)= -\frac{a}{2} +B \cdot i *\frac{h}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Und was ist dann nun meine Lösung ?
Die Gleichung auf B= umgeformt ?

28.01.2009, 22:48

IfindU

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Ist ne gute Frage, du könntest für h wieder resubstituieren und hättest dann noch ein a drin was zu zusammenfassen könntest (allerdings dafür auch noch klein b), ansonsten würde ich glatt sagen nach B umformen und einsetzen.

Hab noch nie ein DLG gelöst (nur in der Schule, und da wars ein homogenes 1. Ordnung), vielleciht findet sich in deinen Unterlagen noch etwas. Ansonsten guck ich morgen noch danach.

Bin für heute mal weg.

Als letzte Idee (es ist spät, könnte bescheuert sein), aber die Formel erinnert mich sehr stark an $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ mit dem Faktor B noch drinnen.

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