Kompositionsreihe/~faktoren

24.01.2009, 12:04	selfor	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompositionsreihe/~faktoren Hallo. ich stehe wohl auf der Leitung, aber mir ist folgendes nicht klar: Wenn G eine auflösbare Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} \|G\| = \prod_{i=1}^n p_i \end{eqnarray}$ ist (für Primzahlen p), dann wurde gefolgert, dass eine zyklische Untergruppe $\begin{eqnarray} C_{p_r} \leq G \end{eqnarray}$ enthalten ist. Stimmt das immer? Auflösbar bedeutet ja, dass die Kompositionsfaktoren zyklisch von Primzahlordnung sind. Also wenn gilt $\begin{eqnarray} G > G_1 > \dots > G_k > \{e\} \end{eqnarray}$ , wie erhält man denn dann, dass diese zyklische Untergruppe existiert?
24.01.2009, 12:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das G_k ist genau diese zyklische Untergruppe. Das Resultat gilt aber sogar für jede Primzahl die die Gruppenordnung teilt und für alle endlichen Gruppen. Das ist dann der Satz von Cauchy
24.01.2009, 12:17	selfor	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, entschuldigung. Ich habe ein wichtiges Zeichen falsch geschrieben: $\begin{eqnarray} C_{p_r} \unlhd G \end{eqnarray}$ Dass irgendeine Untergruppe dieser Ordnung existiert ist klar - sorry für die Tippfehler.
24.01.2009, 12:40	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine zusätzliche Forderung ist bestimmt noch dass die p_i paarweise verschieden sind oder? Sonst könnte man S_4 als Gegenbeispiel nehmen.
24.01.2009, 12:46	selfor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. Könnte es sein, dass die Aussage nur für die größte vorkommende Primzahl gilt - nicht für alle?
24.01.2009, 12:50	selfor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ps.: Es stimmt, dass die $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ paarweise verschieden sein sollen meinte ich. War etwas mißverständlich.
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24.01.2009, 15:41	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin noch nicht viel weiter gekommen aber es gilt auf jeden Fall nicht für jede Primzahl p. Ein Beispiel wäre das semi-direkte Produkt C7 : C3. Dieses ist auflösbar, besitzt aber nur die C7 als nicht-trivialen Normalteiler. Ich werde weiter drüber nachdenken vielleicht kommt mir noch eine Idee. Gruß kiste PS: Die Einschränkung ,dass G auflösbar ist, ist überflüssig. Alle Gruppen deren Ordnung das Produkt paarweiser verschiedener Primzahlen sind, sind auflösbar.
25.01.2009, 20:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay hoffe mal du schaust jetzt nochmal rein, hab immerhin jetzt nen Tag darüber nachgedacht Ich gebe dir einmal eine Beweisskizze, die einzelnen Schritte darfst du machen. Da $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ auflösbar existiert ein nicht-trivialer Normalteiler außer wenn $\begin{eqnarray} G = C_p \end{eqnarray}$ . In diesem Fall ist aber bereits C_p normal in G. Sei $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein minimaler Normalteiler von G. Wir zeigen das $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ eine abelsche p-Gruppe ist. Damit folgt offensichtlich bereits die Aussage die wir haben wollen. Da $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ minimal ist, sind 1 und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ die einzigen charakteristischen Untergruppen. Da $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ auflösbar ist $\begin{eqnarray} N' \neq N \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} N' \end{eqnarray}$ charakteristisch ist muss also $\begin{eqnarray} N' = 1 \end{eqnarray}$ gelten also ist $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ abelsch. Wir definieren $\begin{eqnarray} N_p := \{ x \in N \mid x \text{ ist p-Element}\} \end{eqnarray}$ . Für abelsches $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} N_p \end{eqnarray}$ eine charakteristische Untergruppe von N der Ordnung $\begin{eqnarray} \|N\|_p \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} n_p \end{eqnarray}$ bezeichnet die größte p-Potenz in n). Also muss für ein $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ gelten: $\begin{eqnarray} N = N_p \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ eine p-Gruppe. Gruß kiste

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