Nur ein Häufungspunkt -> bestimmt divergent oder konvergent

24.01.2009, 14:30	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur ein Häufungspunkt -> bestimmt divergent oder konvergent Wie der Titel schon andeutet, soll ich zeigen, dass eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ genau dann konvergent oder bestimmt divergent ( $\begin{eqnarray} \pm \infty \end{eqnarray}$ ist uneigentlicher Grenzwert) wenn $\begin{eqnarray} lim~sup~a_n=lim~inf~a_n \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist also: 1) $\begin{eqnarray} (a_n) \to a \Rightarrow lim~sup~a_n=lim~inf~a_n \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} (a_n) \to \pm \infty \Rightarrow lim~sup~a_n=lim~inf~a_n \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} lim~sup~a_n=lim~inf~a_n \Rightarrow (a_n) \to a ~oder~(a_n) \to \infty \end{eqnarray}$ 1) ist trivial 2) Ein wenig früher wurde folgendes vereinbart: Ist $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ nach unten aber nicht nach oben beschränkt und besitzt $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ keinen Häufungswert dann setzt man $\begin{eqnarray} lim~inf~a_n = + \infty \end{eqnarray}$ . Im umgekehrten Fal(nach oben aber nicht nach unten beschränkt)l setzt man $\begin{eqnarray} lim~sup~a_n = - \infty \end{eqnarray}$ Man sieht daher leicht, dass Aussage 2) stimmt. Bei 3) weiß ich allerdings nicht so recht weiter, denn die Folge (1,2,1,3,1,4, ...) ist divergent hat aber nur einen Häufungspunkt. Das ist doch ein Widerspruch Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen lg
24.01.2009, 15:34	Gorgon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nur ein Häufungspunkt -> bestimmt divergent oder konvergent Moin, deine Folge hat doch zwei (uneigentliche) Häufungspunkte: 1 und unendlich. Somit gibt es also keinen Widerspruch. Meine Idee wäre etwa zu zeigen dass gilt: Für fast alle $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} lim~sup~a_n + \epsilon \geq a_n \geq lim~inf~a_n -\epsilon , \epsilon >0 \end{eqnarray}$ Das sollte man aus den Definitionen herleiten können. Dann setzt man limsup und liminf = a ein, stellt es um nach $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ (man kann dies dann mit Beträgen aufschreiben) und hat damit die Definition des Grenzwertes erhalten. Hoffe das hilft.
24.01.2009, 18:19	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
aus irgendeinem Grund hab ich mir eingebildet, dass eine Folge die einen "normalen" Häufungswert hat, keinen uneigentlichen haben kann ... Mein Ansatz 3) zu beweisen wäre folgender: Ist $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ unbestimmt divergent und unbeschränkt, so muss $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ mehr als einen Häufungswert haben.Teilt man $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ nämlich so in 2 Folgen, dass man eine bestimmt divergierende und eine beschränkte erhält, so hat die bestimmt divergierende den einen uneigentlichen Grenzwert. Die beschränte Folge hat aber bestimmt eine konvergente Teilfolge. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ mindestens 2 Häufungswerte hat. Nun muss ich noch zeigen, dass selbiges für eine beschränkte unbestimmt divergierende Folge gilt. Nach dem Auswahlprinzip hat $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ sicher eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungswert. Wäre dieser Häufungswert der einzige, so müssten nach der Definition von lim sup/inf fast alle n in einer beliebigen epsilon-Umgebung von diesem Häufungswert liegen, was allerdings im Widerspruch zu der Annahme steht, dass $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ divergent ist. lg

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