Integralrechnung

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Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung
Hallo, es geht um folgende Aufgabe:

1) Sei stetig und . Dann hat eine Nullstelle in .

2) Sei integrierbar, und in mindestens einem Punkt , in dem stetig ist. Dann ist

Kann mir hier jemand einen Ansatz geben. Weiß nicht wie ich die Aufgabe angehen soll.
Das wäre nett. Danke
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

1) dabei ist .

Hätte f keine Nullstelle, dann wäre f entweder immer > oder immer < 0. Daraus würde folgen, dass F streng monoton ist weswegen F(b) - F(a) unmöglich 0 sein kann.

2) Ist relativ ähnlich zu beweisen, du musst hier auch die Tatsache verwenden, dass f die Steigung von F ist.

lg
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Also führe ich das mit einem Widerspruchbeweis.

Angenomme, f hat keine Nullstelle, dann folgt, dass f streng monoton ist dass das Integral von a nach b größer oder kleiner 0 ist.
Das folgt zu einem Widerspruch.

Reicht das so?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Naja man kann das sicher noch genauer beschreiben z.b warum das Integral dann größer 0 ist (Definition d. Riemann-Integrals). Wie genau du beweisen musst weiß ich auch nicht, geh noch in die Schule und da werden überhaupt keine beweise verlangt Big Laugh

lg
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der ersten kann man auch den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden, falls der bekannt ist. Damit wäre es dann sehr einfach.

Zur Zweiten: Es gilt jedenfalls . Da in stetig ist, existiert ein , sodass für alle die Ungleichung



erfüllt ist (warum?). Was folgt daraus für das Integral?
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Also das erste würde ich jetzt so machen.

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechung existiert ein mit .

Es gilt: Nullstelle von f.

So ok?

Und beim zweiten kann ich mit deinem Tipp leider nicht so viel anfangen.
Könntest du das näher erläutern?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

ist wieder ein Intervall . Dann gilt

.

Die erste ist so korrekt.
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