Bestimmung von Näherungslösungen

24.01.2009, 15:44

madmax2003

Bestimmung von Näherungslösungen

Hi,

ich bins wieder. Augenzwinkern

Sitze gerade an diesem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme für $\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} -7/9 \\ 5/9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur bei Matlab gibt er mir als Lösung an: $\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} 0.331 \\ 0.0331 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

wenn ich X=linsolve(A,B) eingebe.

Bei einer anderen Rechnung hat aber alles übereingestimmt!

lg

24.01.2009, 16:20

tigerbine

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Vielleicht zeigst du mal deine Rechnung?

24.01.2009, 16:40

madmax2003

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also

$\begin{eqnarray*} A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{T}*A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{T}*b = \begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5\end{pmatrix}* x=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ komme ich auf x.

24.01.2009, 16:58

tigerbine

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Wie hilfreich manchmal ein paar Worte sein könnten...

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix A hat offensichtlich den Rang 2, die erweiterte Matrix A,b den Rang 3. Somit liegt b nicht im Bild von A und das LGS besitzt keine Lösung. Wir müssen das Minimierungsproblem:

$\begin{eqnarray*} \min!~\|Ax-b\|_2 \end{eqnarray*}$

Lösen. Eine Möglichkeit bilden hier die Normalengleichungen.

$\begin{eqnarray*} A^TAx = A^Tb \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

matlab liefert das numerisch gleiche, du hast den Exponenten unterschlagen

code:
1: 2: 3: 4: 5:	A\b ans = 1.0e-015 * 0.3310 0.0331

24.01.2009, 17:36

madmax2003

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Also muss ich immer schauen, ob die Matrizen den gleichen Rang besitzen, um eine Näherungslösung zu bekommen?

Weiß jetzt nur nicht , ob es bei der Prüfung genügt, das hinzuschreiben.
Denn so weit ich weiß, haben wir kein Minimierungsproblem bis jetzt durchgemacht...

Oder hat es was mit der Singulärwertzerlegung zu tun?

lg

24.01.2009, 19:03

tigerbine

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Wenn du diese Aufgabenstellung nicht kennst, dann kannst du nur schreiben "Das LGS besitzt keine Lösung". Denn das was ich hingeschrieben habe ist das logische neue Problem, was man sich dann stellt. Ein Minimierungsproblem.

Und ich habe gar nicht geschaut, ob die Matrizen gleichen Rang haben um das MP zu lösen. Liest du eigentlich, was man schreibt...... nur weil der Rang unterschiedlich ist, wird es doch zu einem MP.

Und ich schrieb eine Möglichkeit ist die Normalengleichung. Den Weg habe ich eingeschlagen, weil du mit der transponierten Matrix gekommen bist.

Ich schreibe dir schon eine komplette Lösung hin, aber anstatt eines Dankes kommt nur "ob das reichen wird". Und es wird ein weiterer Begriff in die Runde geworfen. unglücklich

Man kann so etwas auch über Singulärwertzerlgeung (Moore-Penrose-Inverse) lösen, aber das werde ich nicht vorrechnen...

24.01.2009, 21:04

madmax2003

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Zitat:

Original von tigerbine
Und ich habe gar nicht geschaut, ob die Matrizen gleichen Rang haben um das MP zu lösen. Liest du eigentlich, was man schreibt...... nur weil der Rang unterschiedlich ist, wird es doch zu einem MP.

Daraus hatte ich geschlossen, dass wenn der Rang gleich ist, es mit
$\begin{eqnarray*} A^{t}Ax= A^{t}b \end{eqnarray*}$
zu lösen ist.

Aber vielen Dank für die Hilfe! Freude

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