Riemannsche Summe

24.01.2009, 18:31	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemannsche Summe Hallo ich muss folgendes Integral mit Hilfe der Riemannschen Summe berechnen. Es handelt sich um: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~\sin(x)~dx \end{eqnarray}$ Also hier bin ich ratlos: Ich weiß dass die Riemannsche Summe so aussieht: $\begin{eqnarray} \sum_{}~(f,Z,E):=\sum_{i=1}^n~f(E_i)(x_i-x_{i-1}) \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} Z=\{x_0,x_1,...,x_n\} \end{eqnarray}$ eine Zerlegung von I und $\begin{eqnarray} E=(E_1,...,.E_n) \end{eqnarray}$ eine Zusammenfassung von $\begin{eqnarray} E_i \end{eqnarray}$ zu dem Vektor ist. Aber wie wende ich diese Definition nur an?
25.01.2009, 13:50	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sabinee, Hast du $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ gegeben oder ist das allgmein zu berechnen?
25.01.2009, 19:31	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bestimmte Integral, ist definiert als $\begin{eqnarray} F(b) - F(a) \end{eqnarray}$ was zugleich der gemeinsame Grenzwert, aller Riemannfolgen einer Funktion f (vorrausgesetzt alle Riemannfolgen sind konvergent, was bei stetigen Funktionen aber immer der Fall ist). Was es aber bedeuten soll ein Integral mit Hilfe von Riemannsummen zu berechnen , verstehe ich nicht ganz
25.01.2009, 19:40	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein a und b sind leider nicht gegeben. Also muss ich das allgemein berechnen, aber wie gehe ich denn vor?
27.01.2009, 18:49	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das jetzt versucht und zeige euch woran ich scheitere. Sei $\begin{eqnarray} \delta:=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\sin(a+i\delta)=\sum_{i=1}^n~\frac{1}{2\sin(\frac{\delta}{2})}2\sin(a+i\delta)\sin(\frac{\delta}{2})=\sum_{i=1}^n~\frac{1}{2\sin(\frac{\delta}{2})}\cdot(\cos(a+i\delta-\frac{\delta}{2})-\cos(a+i\delta+\frac{\delta}{2})) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\cos(a-\frac{\delta}{2})-\cos(a+n\delta-\frac{\delta}{2}))}{\sin(\frac{\delta}{2})}=\frac{\cos(a-\frac{(b-a)}{2n})-\cos(a+(b-a)-\frac{b-a}{2n}))}{\sin(\frac{b-a}{2n})} \end{eqnarray}$ Wenn ich n gegen unendlich streben lasse, erhalte ich folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{\cos(a)-\cos(b)}{0} \end{eqnarray}$ Im Zähler erhalte ich genau das Integral das ich suche, aber im Nenner wander der Ausdruck nicht wie erwünscht gegen 0 sondern gegen 1. Was mache ich falsch? Bin schon seit Tagen dran das zu schaffen, aber es klappt einfach nicht.
28.01.2009, 00:38	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Schade, dass mir niemand sagen kann wo der Fehler liegt. Hätte so gerne die Aufgabe gelöst.
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28.01.2009, 08:24	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sabinee, das sieht insgesamt gut aus. Nur hast du ganz am Anfang bei der ersten Summe vergessen das $\begin{eqnarray} x_{i}-x_{i-1} \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} f(E_i) \end{eqnarray}$ zu multiplizieren. Die Riemansumme sieht wie folgt aus (hast du ja schon hingeschrieben): $\begin{eqnarray} \sum_{}~(f,Z,E):=\sum_{i=1}^n~f(E_i)(x_i-x_{i-1}) \end{eqnarray}$ Also das ganze nocheinmal von vorne: $\begin{eqnarray} \sum_{}~(f,Z,E)=\sum_{i=1}^n~f(E_i)(x_i-x_{i-1})&=&\sum_{i=1}^n~\sin(a+i\delta)\overbrace{\left(\overbrace{\left(a+i \delta\right)}^{x_i}-\overbrace{\left(a+(i-1)\delta\right)}^{x_{i-1}}\right)}^{\frac{b-a}{n}}\\&=&\cdots\\&=&\overbrace{\frac{\frac{b-a}{2n}}{\sin\left(\frac{b-a}{2n}\right)}}^{\to 1}\left(\cos\left(a-\frac{(b-a)}{2n}\right)-\cos\left(a+(b-a)-\frac{b-a}{2n}\right)\right) \end{eqnarray}$ Gruß

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