Integralrechnung probleme bei Aufgabe

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24.01.2009, 20:11	AxelF2001	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung probleme bei Aufgabe Hallo alle zusammen ich habe da mal wieder ein Problem mit eine meiner Aufgaben $\begin{eqnarray} \int \frac{(1+x^2)^2}{x^3}dx \end{eqnarray}$ Ich habe scho versucht die aufgabe auf verschiedene weise zu lösen laufe aber teilweise immer vor ne Wand. Hier mal meine bisherigen Schritte : Substitution --- $\begin{eqnarray} u^{-1}(x) = (1+x^2)^2 = t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x) = x = \sqrt[4]{t}-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'(x) = \frac{1}{4}t^{-\frac{3}{4}} \end{eqnarray}$ ---- $\begin{eqnarray} \int \frac{t}{\sqrt[4]{t}-1}\cdot \frac{1}{4}t^{-\frac{3}{4}} dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \frac{t}{4t-4\sqrt[4]{t^3}} dt \end{eqnarray}$ Hier habe ich mit der Vorgehensweise der Substitution beendet weil ich das gefühl hate es sei falsch. Partielle Integration $\begin{eqnarray} \int (1+x^2)^2 \cdot \frac{1}{x^3} dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1+x^2)^2 \cdot -\frac{1}{2}x^{-2} - \int 2(1+x^2) \cdot 2x \cdot \frac{1}{x^3} dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1+x^2)^2 \cdot -\frac{1}{2}x^{-2} - \int 4x + 4 dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1+x^2)^2 \cdot -\frac{1}{2}x^{-2} - (2x^2 + 4x) + c \end{eqnarray}$ Und angekommen an diesem punkt glaub ich auch ich habe wieder totalen mist gebaut wäre super wenn mir jemand hierbei helfen könnte Dankö schonmal an euch
24.01.2009, 20:17	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung probleme bei Aufgabe Ich hab deine Ansätze noch nicht näher beschaut, aber was ist, wenn du den Zähler ausmultiplizierst und den Integranden in 3 Summanden auseinanderziehst? Grüße Abakus
24.01.2009, 21:12	AxelF2001	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey sorry ich war noch nie gut im Mathe Deutsch Oder kurz ich hab das irgendwie net verstanden schäm TUt mir leid Abakus
24.01.2009, 22:26	Bauer Jansen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung probleme bei Aufgabe 1. Zähler ausmultiplizieren: $\begin{eqnarray} \int \frac{(1+x^2)^2}{x^3}dx = \int \frac{x^4+2x^2+1}{x^3}dx \end{eqnarray}$ Jetzt klar wie's weitergeht?
25.01.2009, 01:13	AxelF2001	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung probleme bei Aufgabe Mh bis dahin bin ich gekommen Hab dann gedacht das es bestimmt intelligent währe eine Polynomdivision zu machen wobei ich heraus bekahm : $\begin{eqnarray} x + \frac{2x^2+1}{x^3} \end{eqnarray}$ Damit konnte ich dann eine Partialbruchzerlegung durchführen welche ich mal im Detail aufführe den mein endergebnis ist das selbe wie am anfang Nullstellen bestimmen und zerlegen $\begin{eqnarray} \frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x^3} \end{eqnarray}$ Vergleich der Zahlen $\begin{eqnarray} 2x^2+1 = a(x^2) + b(x) + c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =x^2(a)+x(b)+c \end{eqnarray}$ Koeffizientenvergleich $\begin{eqnarray} x^2: 2 = a --> a = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^1: 0 = b --> b = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^0: 1 = c --> c = 1 \end{eqnarray}$ Eintragen $\begin{eqnarray} \frac{2}{x}+\frac{0}{x^2}+\frac{1}{x^3} \end{eqnarray}$ Gleichnahmigmachen und zusammenfügen $\begin{eqnarray} = x + \frac{2x^2+1}{x^3} \end{eqnarray}$ Und das schaut aus wie meine Ausgangsformel nach der Polynomdivision
25.01.2009, 01:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung probleme bei Aufgabe Was ist daran so schwer, den Bruch auseinander zu ziehen? $\begin{eqnarray} \int \frac{(1+x^2)^2}{x^3}dx = \int \frac{x^4+2x^2+1}{x^3}dx =\int \frac{x^4}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}dx \end{eqnarray}$ Das geht so gar noch einfacher. $\begin{eqnarray} \int \frac{x^4}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}dx =\int \frac{x^4}{x^3} dx + \int\frac{2x^2}{x^3} dx+ \int \frac{1}{x^3}dx \end{eqnarray}$ Und das war, was Abakus meinte...
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25.01.2009, 12:55	AxelF2001	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Leute, danke nochmal für die unterstützung. Ich hab auch jetzt was raus was mich fast glücklich macht. Muss wohl blind gewesen sein das ich das nicht erkannt habe. Nun weicht die Lösung allerdings etwas von der Lösung meines Profs. ab und ich wollte euch noch gefragt haben, ob es an dem Lösungsweg liegen kann, oder ob ich mich einfach doch nochmal verhauen habe. $\begin{eqnarray} \int x^4 \cdot x^{-3} dx + \int 2x^2 \cdot x^{-3} dx + \int \frac {1}{x^{-3}} dx \end{eqnarray}$ da bekomme ich raus $\begin{eqnarray} \int x dx + 2 \int \frac{1}{x} dx + \int \frac {1}{x^{-3}} dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac {1}{2}x^2 + 2 ln(x) + ln({x^{-3}}) \end{eqnarray}$ Die Lösung die ich hier liegen habe sagt allerdings $\begin{eqnarray} \frac {1}{2}x^2 + 2 ln(x) + -\frac{1}{2}\cdot x^{-2} \end{eqnarray}$ Hab ich einfach nochmal ne kleine dummheit falsch gemacht oder liegt es am Lösungsweg??
25.01.2009, 14:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Kerle, muss man jeden Schritt vorrechnen... $\begin{eqnarray} \int \frac{x^4}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}dx =\int \frac{x^4}{x^3} dx + \int\frac{2x^2}{x^3} dx+ \int \frac{1}{x^3}dx \end{eqnarray}$ Das nun also vereinfachen $\begin{eqnarray} \int x dx + 2\int\frac{1}{x} dx+ \int x^{-3}dx \end{eqnarray}$ Nun ist doch der einzige "sonderfall" das mittlere integral...Ansonsten ist es die Potenzregel... $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} x^2 + C_1 + 2 \ln(\|x\|)dx + C_2-\frac{1}{2} x^{-2} +C_3 \end{eqnarray}$
25.01.2009, 16:21	AxelF2001(Login)	Auf diesen Beitrag antworten »
AHHH ich bin soooo ein Ideot man man man Danke nochmal fürs vorrechnen, bin für integralrechnung einfach nicht gemacht muss es aber trotzdem können

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