Trigonalisierbarkeit

24.01.2009, 20:56	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonalisierbarkeit Sei $\begin{eqnarray} r,s\geq 1, A_1\in k^{r \times r}, A_2\in k^{r\times s} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ 0 & A_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . a) Genau dann ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ trigonalisierbar über k, wenn $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ dies sind. Ich habe so angefangen. $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ 0 & A_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & A_4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ 0 & E_s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} det_n A=(det_n A_1)\cdot (det_s A_4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow X^rdet_n(X\cdot E_s -A_1)\cdot X^sdet_r(X\cdot E_r - A_4)=X^r\cdot \chi_{A_1}\cdot X^s\chi_{A_4} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} \chi_A \end{eqnarray}$ das charakteristische Polynom bezeichnet. Nun da jetzt $\begin{eqnarray} X^s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X^r \end{eqnarray}$ schon die Form eines Linearfaktors haben, gilt für die Trigonalisierbarkeit von A dass das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Wie findet ihr den Beweis. Ist das so in Ordnung?
24.01.2009, 21:33	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja...die wichtigen Schritte und Ansätze sind immerhin schon da, nur die Argumentation ist noch bisschen ungenau. Erstens: Was sollen diese $\begin{eqnarray} X^r,X^s \end{eqnarray}$ vor den Determinanten? Deine Folgerung am Ende müsste eigentlich sein $\begin{eqnarray} \chi_A=\chi_{A_1}\cdot\chi_{A_4} \end{eqnarray}$ Und hier musst du jetzt ansetzen: Eine Matrix ist trigonalisierbar genau dann, wenn sein charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt...Nun tut es das genau dann, wenn die beiden obigen Faktoren, also die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen zerfallen. Und DIES ist genau dann der Fall, wenn diese trigonalisierbar sind.
25.01.2009, 10:53	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} X^r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X^s \end{eqnarray}$ sind auch falsch. Da muss stehen. $\begin{eqnarray} (1-X)^r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1-X)^s \end{eqnarray}$ . Das ist doch die Determinante von $\begin{eqnarray} E_r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_s \end{eqnarray}$ oder wo liegt mein Denkfehler?
25.01.2009, 19:14	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Also noch ein Versuch: Es ist: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ 0 & A_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun gilt: $\begin{eqnarray} det A=det (A_1)\cdot det(A_4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (X\cdot E_n-A)=A=\begin{pmatrix} X\cdot E_r- A_1 & -A_2 \\ 0 & X\cdot E_s-A_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun gilt also für das charakteristische Polynom: $\begin{eqnarray} \chi_A=\chi_{A_1}\cdot \chi_{A_4} \end{eqnarray}$ Woraus folgt, dass A dann trigonalisierbar ist, wenn es $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ ist. So müsste das doch stimmen oder?
26.01.2009, 06:10	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
jap

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