Konflikt mit Vektorfeld |
| 25.01.2009, 11:23 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Konflikt mit Vektorfeld Habe gerade einen Konflikt mit einer Aufgabe: Berechne für und . Nun habe ich einfach gerechnet: Soweit richtig? Nun soll ich die Integrabilitätsbedingungen überprüfen: Es ist: OK, also exisitert eine Stammfunktion , sodass Diese ist gegeben durch Wenn ich nun aber den Hauptsatz anwende, komme ich auf einen Wert für das Integral von Null. Das stimmt doch aber nicht 
Wo liegt denn der Denkfehler? 
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| 25.01.2009, 11:40 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konflikt mit Vektorfeld
Überflüssig. (Und außerdem auch falsch, wie du es gemacht hast) Du kennst doch bereits einen geschlossenen Weg, über dem das Integral nicht verschwindet. Was heißt das also? |
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| 25.01.2009, 11:45 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konflikt mit Vektorfeld
Warum soll das falsch sein? Partielle Ableitung der ersten Funktion des Vektorfelds nach y, und dann nach x in der zweiten Komponente... |
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| 25.01.2009, 15:39 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Wie soll das Vektorfeld im Nullpunkt definiert sein? (Eine stetige Fortsetzung ist gar nicht möglich!) Unter welchen Voraussetzungen ist die Integrabilitätsbedingung denn hinreichend? Ist das hier der Fall? |
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| 25.01.2009, 15:41 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, hab gerade gesehen, dass ich die Einschränkung vergessen habe. Das Vektorfeld ist natürlich nicht im Nullpunkt definiert. Der Definitionsbereich ist aber in der Aufgabe anders angegeben. |
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| 25.01.2009, 15:45 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Definitionsbereich ist in der Aufgabenstellung anders gegeben als was? D.h. welcher Definitionsbereich ist in der Aufgabe angegeben? Und was kannst du nun zu meiner zweiten Frage sagen? |
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| 25.01.2009, 15:49 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh sorry, der Definitionsbereich ist jetzt oben in der Aufgabenstellung geändert. Und ich sehe gerade das Theorem im Heft: F ist nur ein Gradientenfeld auf einem Gebiet G, falls G ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist... Ist dies dann die Begründung, warum es nicht geht? |
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| 25.01.2009, 15:54 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Aussage ist aus dem Zusammenhang gerissen und so nicht korrekt. Der Satz besagt, dass ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Tatsächlich ist das hier gegebene Gebiet nicht einfach zusammenhängend. |
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| 25.01.2009, 15:59 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, bin heut nich voll auf der Höhe... Die Frage in der Klausur war: Ist F ein Gradientefeld auf D (wobei D der Definitionsbereich von F sei)? Antwort: Nein - zitiere letztes Theorem. Brauchen die Integrabilitätsbedingungen also gar nicht erst geprüft werden. |
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| 25.01.2009, 16:00 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welches Theorem? |
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| 25.01.2009, 16:02 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Satz, den du eben formuliert hast... Oder kann man i.A. hoffen, dass F auch auf einem nicht einfach zusammenhängenden Gebiet eine Stammfunktion besitzt? |
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| 25.01.2009, 16:10 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, natürlich! Der Satz ist ja in dieser Hinsicht nur eine hinreichende Formulierung. Vielmehr solltest du, wie Sly ganz am Anfang bereits erwähnte, mit deiner obigen Rechnung argumentieren. |
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| 25.01.2009, 16:18 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Ich habe über den oben angegebenen Weg integriert und erhalte dort -2Pi. Da aber eine geschlossene Kurve ist und das Wegintegral nicht verschwindet für , ist der Wert dieses Integrals wohl vom gewählten Weg abhängig. Mit obiger Rechnung habe ich zwar eine Stammfunktion angegeben, jedoch steht dieses im Konflikt zur Rechnung... Also: Muss ich überhaupt anfangen die Integrabilitätsbed. zu überprüfen? Oder soll ich so fort fahren wie bisher und dann aber argumentieren, dass man einen Weg gefunden hat, so dass das Integral nicht verschwindet und demnach keine Stammfunktion existiert. |
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| 25.01.2009, 16:53 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine bisherigen Ergebnisse widersprechen sich, das sollte dir aufgefallen sein. Da du einen geschlossenen Weg gefunden hast, über den das Integral nicht verschwindet, kann gar kein Gradientenfeld sein. Deshalb solltest du deine angebliche Stammfunktion auch nochmal überprüfen: Ist diese denn überhaupt auf ganz definiert? Und die Integrabilitätsbedingung versagt hier, deswegen bringt sie einem absolut gar nichts. |
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| 25.01.2009, 17:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie schon in diesem Strang weise ich darauf hin, daß die vorliegende Differentialform bis auf das Vorzeichen der Imaginärteil der komplexen Differentialform ist. Letztlich ist diese Aufgabe also die reelle Variante des komplexen Logarithmusproblems: Es existiert zwar lokal eine Stammfunktion, aber eben nicht global. |
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| 04.02.2009, 16:52 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry für die späte Antwort - hatte aber letzte Woche viele Klausuren, die erstmal geschrieben werden mussten... Danke für eure Antworten, ist jetzt klar geworden!!!
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