integrale für symmetrische funktionen

25.01.2009, 15:33

mathe+-

integrale für symmetrische funktionen

das ist die funktion...

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~\frac{1}{\sqrt{|x|}}~dx \end{eqnarray*}$

wenn ich die normal ausrechne erhlate ich 0

wenn ich sie umforme nach:

$\begin{eqnarray*} 2 * \int_{0}^{1}~\frac{1}{\sqrt{|x|}}~dx \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich 4, ich versteh nicht warum...??

25.01.2009, 15:41

tmo

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Erstmal sollte man einsehen, dass dieses Integral uneigentlich ist.

Und dann: Was ist denn deiner Meinung nach eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}} \end{eqnarray*}$

25.01.2009, 16:40

mathe+-

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F(x) wäre wohl 2 x Wurzel(x)

oder??

uneigentlich? heißt das nmicht dass der grenzwer unendlich ist? was bringt mir das denn für mein problem?

danke für die schnelle antwort! smile

01.02.2009, 19:40

mathe+-

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kann mir hierbei denn niemand helfen? ich dahcte das wäre nicht so schwer...

01.02.2009, 21:14

Leopold

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Wie dir tmo es schon gesagt hat: Das Integral ist uneigentlich. Zeichne dir unbedingt ein Bild des Funktionsgraphen!

1. An der Stelle 0 ist der Integrand unbeschränkt. Du darfst nicht über diese Definitionslücke hinwegintegrieren.

2. Zudem kannst du die Betragsstriche nicht einfach unberücksichtigt lassen. Die von dir angegebene Stammfunktion ist nur für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gültig.

Was du als "normal ausrechnen" bezeichnest, ignoriert diese Tatsachen und ist daher falsch. Dein zweiter Weg ist der richtige. Allerdings kommst du nur zufällig zum richtigen Ergebnis, da dir die Uneigentlichkeit des Integrals anscheinend nicht bewußt ist.

Zunächst kannst du für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ (aber eben nur dort!) die Betragsstriche weglassen. Deshalb darfst du so rechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^1 \frac{\dd x}{\sqrt{|x|}} = \int_a^1 \frac{\dd x}{\sqrt{x}} = F(1) - F(a) \end{eqnarray*}$

Hierbei ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl mit $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die von dir angegebene Stammfunktion. Wenn nun der Limes für $\begin{eqnarray*} a \to 0 \end{eqnarray*}$ existiert, dann und nur dann darfst du

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{\dd x}{\sqrt{|x|}} \end{eqnarray*}$

einen Wert zuweisen, nämlich gerade jenen Limes. Und aus Symmetriegründen (Geradheit des Integranden) folgt dann

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \frac{\dd x}{\sqrt{|x|}} = 2 \cdot \int_0^1 \frac{\dd x}{\sqrt{|x|}} \end{eqnarray*}$

Der von dir berechnete Wert 4 ist richtig.

Eine Stammfunktion für den ganzen Bereich ist übrigens (mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn} \end{eqnarray*}$ als der Vorzeichenfunktion)

$\begin{eqnarray*} \overline{F}(x) = \int_0^x \frac{\dd t}{\sqrt{|t|}} = 2 \sqrt{|x|} \cdot \operatorname{sgn}(x) \end{eqnarray*}$

Auch dieses Integral ist an der unteren Grenze uneigentlich. $\begin{eqnarray*} \overline{F} \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, besitzt allerdings dort die uneigentliche Ableitung $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Und mit diesem $\begin{eqnarray*} \overline{F} \end{eqnarray*}$ kommt es auch richtig heraus:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \frac{\dd x}{\sqrt{|x|}} = \overline{F}(1) - \overline{F}(-1) \end{eqnarray*}$

02.02.2009, 12:01

mathe+-

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vielen dank für die lange erläuterung jetzt habe ichs verstanden Augenzwinkern

allerdings hab ich noch eine frage, da 0 nicht definiert ist mus ich die funktion dann nicht gegen 0+ gehen lassen?

02.02.2009, 18:01

Leopold

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Zitat:

Original von mathe+-
da 0 nicht definiert ist

Bei so etwas krieg ich die Krise! Natürlich ist das definiert:

0
Null
nil
neutrales Element der Addition
nix
Nullkommanull
Infimum der positiven reellen Zahlen

Genügt das? Oder willst du noch mehr Beschreibungen der Null?

Was du meinst ist: Die Funktion f ("eff") ist nicht definiert, und zwar an der Stelle 0.

Und in der Tat: Da in meinem Beitrag $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt ist, kann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch nur von dieser Richtung gegen Null streben.

02.02.2009, 19:48

mathe+-

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ok, das heißt, ich muss

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0+} \int_{1}^{a}~......~dx \end{eqnarray*}$

schreiben richtig?

02.02.2009, 22:43

Leopold

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Die Integrationsgrenzen sind falsch herum. Ein Versehen?
Bei Limesangaben kommt es immer auf den Kontext an. Du kannst gerne der Deutlichkeit halber $\begin{eqnarray*} a \to 0^{+} \end{eqnarray*}$ schreiben. Aber da ja $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt ist, versteht sich bei $\begin{eqnarray*} a \to 0 \end{eqnarray*}$ von selbst, daß die Annäherung an Null nur aus dem Positiven erfolgen kann. Da wird großzügig unterstellt, daß der erfahrene Leser das richtig zu interpretieren weiß.

03.02.2009, 11:03

mathe+-

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war ein versehehn ,ja.
vielen dank!

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