Brauche ein paar Hilfestellungen zu Extremwertaufgaben
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06.09.2006, 13:17 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »
Brauche ein paar Hilfestellungen zu Extremwertaufgaben
Hallo,
ich bräuchte mal so allgemein paar Tipps für Extremaufgaben, wie geht man da heran? Also die Zielfunktion bilden kann ich so weit, ich versteh nur folgendes nicht:

Beispiel:

Gesucht ist das absolute Maximum des Quadervolumens! (Maßen sind nicht gegeben). Es soll eine Schachtel werden, die Ecken wurden rausgeschnitten und es ergibt sich die u. z. s. Skizze.

Zielfunktion(L*B*H -> hab schon weiter unbekannte rausgeworfen und kam zu, was auch richtig ist): V(s) = 4S^3-4PS^2+P^2S
P ist konstant.

So jetzt kommen die (Lösung ist wieder gegeben) erstmal zu der Erkenntniss das ein Relatives Maximum und ein Minimum vorliegt und zwar bei:

S1 = P/6
und
S2 = 0,5P

So kann mir eventuell jemand erklären(den Weg oder wie auch immer), wie die zu dieser Erkenntnis gekommen sind ?

Bedanke mich recht herzlich.

mfg
Oggi
06.09.2006, 13:31 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss zwar nicht wie du auf deine Volumenfunktion kommst, aber prinzipiell sind s1 und s2 deine Extremstellen, welche du durch Nullsetzen der ersten Ableitung von V(s) erhälst.

Mittels der zweiten Ableitung könntest du jetzt noch prüfen, welche Art von Extrempunkt (HP oder TP) an der jeweiligen Stelle s vorliegt.

Dein Ziel ist es hier ja herauszufinden, wie man s wählen muss, damit ein Maximum entsteht.

Gruß Björn
06.09.2006, 13:36 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

auf die Volumen(Ziel)funktion kam ich wie folgt:

V = L * B * H

Nebenbedingungen:

L = P - 2S
B = P - 2S
H = S

Also ist V = (P - 2S) * (P - 2S) * S

->

V = 4S^3 - 4PS^2 + P^2S

so dann müsste ich davon jetzt die Nullstellen der 1.Ableitung berechnen oder wie ?
06.09.2006, 13:36 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche ein paar Hilfestellungen zu Extremwertaufgaben
wieso stellst du die Volumina-funktion auf, wenn nach der größtmöglichen Fläche gefragt ist? unglücklich
06.09.2006, 13:39 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh Entschuldigung:

Gesucht ist das absolute Maximum des Quadervolumens!
06.09.2006, 13:42 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
so dann müsste ich davon jetzt die Nullstellen der 1.Ableitung berechnen oder wie ?


Genau das
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06.09.2006, 13:45 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

na gut in dem Fall hast du ja die Volumina-funktion, die eine Polynomfunktion 3. Grades ist.
Jetzt musst du die Funktion nur noch ableiten und dann die 1. Ableitungsfunktion gleich 0 setzen, wie Bjoern schon geschrieben hat.
Die Nullstellen der 1. Ableitung geben dir die Stellen der Funktion, bei denen eine angelegte Tangente waagrecht wäre, also die Extrema. Um jetzt herauszufunden, ob es Minima oder Maxima sind untersucht man entweder die 2. Ableitung, welche die Krümmung liefert, oder die Vorzeichenwechsel
06.09.2006, 13:46 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

Und genau das wär meine nächste Frage gewesen. Wie bilde ich davon die Ableitung.

Mit dem TR VoyageTI200 hätte ich das jetzt gemacht, wobe ich mir da auch nicht sicher bin wie das geht, weil ja 2 Unbekannte da sind. OK P ist konstant, aber was heißt das? Trotzdem sind zwei Variablen drin.


2) WIe kann ich davon die Ableitung schriftlich bilden, kann mir das eventuell kurz einer erklären?


EDIT:
Bei der 2 Ableitung müsste der Wert ja < 0 sein und somit ein HP oder?
06.09.2006, 13:49 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

da es V(S) ist, musst du nach S ableiten genau wie bei den normalen f(x) Funktionen, mit dem einzigen Unterschied, dass du hier halt keine Zahlen sondern Buchstaben als Koeffizienten hast

Edit: ja
06.09.2006, 13:50 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du schon sagtest, behandle k einfach als konstante - und schleppe sie einfach überall mit (so, als wenn da z.B. 2 stehen würde)

Es sollte eine quadratische Gleichung entstehen, welche du erstmal auf Normalform bringen solltest (also du die Zahl dividieren, welche vor dem x^2 steht)

Weisst du jetzt wie es geht?

Gruß Björn
06.09.2006, 13:50 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist mir klar, nur wie mache ich das schriftlich ohne Taschenrechner ?

Da gabs doch was von wegen Exponenten inkr. und mit Faktor multiplizieren oder so ungefähr.
06.09.2006, 13:53 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

oh weia, heisst das, du kennst die Ableitungsregeln nicht? Such mal im Forum, es gibt bestimmt einige Threads mit den jeweiligen Formeln
06.09.2006, 13:59 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

die einzige die ich kenne lautet:

f'(x) = n * x^n-1

eine andere haben wir nicht gelernt.
06.09.2006, 14:01 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar - mit dieser kommst du hier ja auch schon weiter.
06.09.2006, 14:02 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

dann sag ich dir mal die 2.:

die 2 Regeln reichen für diese Aufgabe schon
06.09.2006, 14:04 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre das dann hierbei folgendes:

4S^3 - 4PS^2 + P^2S

1.Ableitung:

12S^2 - 8PS + 2PS


???
06.09.2006, 14:05 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

fast richtig
der letzte Summand stimmt nicht, denn du leitest nach S ab und nicht nach P
06.09.2006, 14:09 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

hmm wo liegt denn der Fehler ?

ich hab doch immer den Faktor vor der Variablen mit dem Exponent multipliziert und den Exponent decr.
06.09.2006, 14:11 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

hmm der bleibt dann oder wie ?

12S^2 - 8PS + P^2S
06.09.2006, 14:12 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber du hast immer den Exponent von S erniedrigt, außer beim letzten Summanden, bei dem du den Exponent von P erniedrigt hast.
Und genau das ist falsch, weil
1. du nach S ableitest
2. P eine Konstante ist

Edit: kleine Hilfe:
denk dir folgendes:

smile
06.09.2006, 14:15 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: hab jetzt erst dein Tipp gesehen:

also wäre das dann so:

4S - 4PS + P^2S

ansonsten wüsste ich nicht was du meinst mit nach S ableiten
06.09.2006, 14:17 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

nein es war doch alles richtig ausser dem letzten Summanden unglücklich
denk dir doch mal S als S^1 und dann benutz die 1. Ableitunsregel darauf

Edit: ach ja, weisst du was
ist?
06.09.2006, 14:18 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein Beispiel :

f(x)=4x
f '(x)= 4

Was folgt dann wohl hier?
06.09.2006, 14:20 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

also dann so oder wie ?

12S^2 - 8PS + P^2S

@Serpen:

nein weiß ich nicht außer das x^0 = 1 ist.


@Bjoern

da ist doch dann Ende denk ich mal.
06.09.2006, 14:24 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
da ist doch dann Ende denk ich mal.


Ich meinte mit "hier" eigentlich auf deine Aufgabe bezogen.
06.09.2006, 14:26 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich weiß jetzt nicht was du meinst im bezug auf meine Aufgabe ? Ich hab doch da nichts in Form wie 4x
06.09.2006, 14:30 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dieses willkürliche Beispiel einfach deshalb gewählt, weil man bei deiner Aufgabe den letzten Summanden analog ableiten würde.

Schau mal, du musst ja jetzt nur noch nach s ableiten.

steht ja für irgendeine Zahl vollkommen unabhängig von s.
Das heisst man muss doch hier nur das s ableiten - und was macht das dann einfach nur?
06.09.2006, 14:32 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

das fällt dann weg oder ?

12S^2 - 8PS + S


--- Doppelpost zusammengefügt! Bitte "Edit" verwenden! ---



aber dann müssze das andere P doch auch wegfallen oder ?
06.09.2006, 14:41 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

2 - 1 = 0?
LOL Hammer
06.09.2006, 14:41 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich weiss im Moment auch nicht wie ich es noch anders erklären soll. Lies es dir vielleicht nochmal alles in Ruhe durch.

Is nicht böse gemeint smile
06.09.2006, 14:45 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

wieso leitest du denn die ganze zeit nach P ab?
du bist ja bei den ersten 2 Summanden ja auch von S^3 auf S^2 bzw. von S^2 auf S^1 gegangen und jetz gehst du einfach von S^1 auf.....
Augenzwinkern
06.09.2006, 14:45 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

postet doch einfach mal die richtige Lösung, damit ich den unterschied sehe was gemacht wurde. Dann kann ich mir auch erklären was ihr andauernd meint.

EDIT:

also auf: 12S^2 - 8PS + P^2
oder wie ?
06.09.2006, 14:46 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

Eigeninitiative Forum Kloppe
06.09.2006, 14:47 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

@Serpen
du musst dich auch mal in meine Lage versetzten, ich könnte bis morgen noch rätseln, aber dann ists zu spät.
06.09.2006, 14:48 Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

richtig Freude
es geht doch
jetz gehts aber noch weiter Big Laugh
06.09.2006, 15:02 Oggi Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber jetzt brauch ich erstmal ne Pause, um 16 uhr gehts dann weiter hehe.
06.09.2006, 15:25 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Oggi
also auf: 12S^2 - 8PS + P^2
oder wie ?

Die ganze Verwirrung wäre bei dir vermutlich weniger groß, wenn du dir angewöhnen würdest, nicht Terme, sondern Funktionen hinzuschreiben, also z.B. f(S) = 12S^2 - 8PS + P^2

Dann wüßtest duch auch, von welcher Variable die Funktoin abhängt und wonach dann differenziert wird. Augenzwinkern
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