h-methode

06.09.2006, 14:23

PG

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h-methode

hi

wenn man z.b. eine funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ auf differenzierbarkeit an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ , muss ich mich ja von beiden seiten annäheren und dann wollte ich fragen, wie ich das formal ausdrücken soll...?
also

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}.... \end{eqnarray*}$
h>1??? oder h>0??

danke

edit: schliesslich muss ich folgende aufgabe auf differenzierbarkeit an der stelle 0 überprüfen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\{^{\frac{\mid x\mid}{x}; x\neq0}_{0 ;x=0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{1-1}{h}=0=\lim_{h \to 0}\frac{-1+1}{h} \end{eqnarray*}$

die funktionen haben die gleiche steigung an der stelle 0, aber sie sind dort nicht stetig, daher ist es nicht differenzierbar!

richtig so?

06.09.2006, 15:17

klarsoweit

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RE: h-methode
Wenn man $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}.... \end{eqnarray*}$ schreibt, nähert man sich automatisch von beiden Seiten, da der Wertebereich für nicht eingeschränkt wird. Will man sich nur von links bzw. rechts nähern, muß man zusätzlich die Einschränkung h < 0 bzw. h > 0 dranschreiben.

Was deine Funktion angeht, da hast du den Differenzenquotienten falsch hingeschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2006, 15:21

PG

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danke für die antwort smile

smile

also wir arbeiten gerade mit betragsfunktionen und daher meinte ich, ob ich da immer z.b. $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ schreiben muss, egal an welche stelle ich es auf differenzierbarkeit überprüfe oder muss ich $\begin{eqnarray*} h>x_0 \end{eqnarray*}$ schreiben

kannst du mir bitte auch die aufgabe erklären bzw. korrigieren?

06.09.2006, 15:21

irre.flexiv

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Zitat:

h>1

Wie kommst du darauf? Da könntest du ja auch h>1000 nehmen.

Es geht aber darum eine Folge zu wählen die als Grenzwert 0 hat.

Zum Edit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{1-1}{h}=0=\lim_{h \to 0}\frac{-1+1}{h} \end{eqnarray*}$

Seit wann ist 0 : 0 = 0 ?

06.09.2006, 15:29

PG

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ich habe mir deswegen gedacht, dass es dort die steigung null hat, weil es eine gerade ist oder will soll ich es sonst erledigen?

Was muss ich da sonst schreiben?

06.09.2006, 15:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von PG
also wir arbeiten gerade mit betragsfunktionen und daher meinte ich, ob ich da immer z.b. $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ schreiben muss, egal an welche stelle ich es auf differenzierbarkeit überprüfe oder muss ich $\begin{eqnarray*} h>x_0 \end{eqnarray*}$ schreiben

War ich so undeutlich? Das ist doch die Definbition:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
Egal wie x_0 ist, geht man nur von rechts an x_0 ran, dann ist h>0. Geht man nur von links an x_0 ran, dann ist h<0. Ansonsten ist es egal.

Zitat:

Original von PG
kannst du mir bitte auch die aufgabe erklären bzw. korrigieren?

Setz doch mal deine Funktion in die Definition ein. Was steht dann da?

Zitat:

Original von irre.flexiv
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{1-1}{h}=0=\lim_{h \to 0}\frac{-1+1}{h} \end{eqnarray*}$

Seit wann ist 0 : 0 = 0 ?

EDIT: PG, ich verstehe etwas, wo dein Problem ist. Du hast eine abschnittsweise definierte Funktion und willst die ABleitung an der Stelle x_0 = 2 bestimmen. Da muß h < 2 gewählt werden, damit du die entsprechende Definition der Funktion verwenden kannst.

Da wird doch nicht 0:0 dividiert, allenfalls 0 durch h. Das ist auch ohne weiteres möglich. Leider stimmt nur nicht der Differenzenquotient.

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06.09.2006, 15:36

PG

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RE: h-methode
kommt dann das raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{1-1}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{-1+1}{h}\to\infty \end{eqnarray*}$

??

wenn ja, was ist es dann?

06.09.2006, 15:40

klarsoweit

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unglücklich

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Da steht die Definition. Und jetzt setz bitte mal ganz formal dein x_0 und deine Funktion ein.

06.09.2006, 15:46

PG

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machen wir es mal für $\begin{eqnarray*} f(x)=1=\frac{x}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{1-1}{h} \end{eqnarray*}$

so habe es eingesetzt. was nun?

06.09.2006, 15:53

klarsoweit

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RE: h-methode

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} f(x)=\{^{\frac{\mid x\mid}{x}; x\neq0}_{0 ;x=0} \end{eqnarray*}$

Wenn es im Grunde immer noch um diese Funktion geht, dann solltest du noch die Bedingung x_0 > 0 dranschreiben.

So. Was ist jetzt 1 - 1 ?

06.09.2006, 15:54

PG

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das ist 0

06.09.2006, 15:56

klarsoweit

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Also was ist dann $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{1-1}{h} \end{eqnarray*}$ ?

Beachte: formal muß man noch erwähnen, daß h so klein gewählt wird, daß ebenfalls x_0 + h > 0 ist. Sonst kannst du ja nicht verwenden, daß f(x) = 1 ist für x > 0.

06.09.2006, 15:58

PG

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Zitat:

Original von klarsoweit
Also was ist dann $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{1-1}{h} \end{eqnarray*}$ ?

Beachte: formal muß man noch erwähnen, daß h so klein gewählt wird, daß ebenfalls x_0 + h > 0 ist. Sonst kannst du ja nicht verwenden, daß f(x) = 1 ist für x > 0.

ok werde ich

das ist dann $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{0}{h} \end{eqnarray*}$

weiter?

06.09.2006, 16:03

klarsoweit

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0/h ist ? Beachte: h geht zwar gegen Null, ist aber immer ungleich Null. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2006, 16:05

PG

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ich würde, wie gesagt, 0 sagen!

06.09.2006, 16:09

klarsoweit

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Richtig. (Hatte ich das irgendwo bezweifelt? verwirrt

verwirrt

)

06.09.2006, 16:09

irre.flexiv

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Las dich nicht beirren PG. Ich hatte vorhin einen Aussetzer. smile

smile

Der Grenzwert ist natürlich 0.

Aber mal was anderes. Warum zeigst du nicht einfach das f nicht stetig in 0 ist.
Das ist doch notwendig für Differenzierbarkeit.

06.09.2006, 16:11

PG

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RE: h-methode

Zitat:

Original von klarsoweit
Was deine Funktion angeht, da hast du den Differenzenquotienten falsch hingeschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich weiss nciht ,was du damit meintest, aber ich dachte,dass es deswegen falsch sei.

aber nun zur differenzierbarkeit. ist sie dort differenzierbar?

06.09.2006, 16:15

irre.flexiv

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Ist sie dort stetig?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x} = \pm 1 \not = f(0) \end{eqnarray*}$

Nö.

06.09.2006, 16:19

PG

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also nicht differenzierbar!

danke

06.09.2006, 20:20

klarsoweit

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RE: h-methode

Zitat:

Original von PG
ich weiss nciht ,was du damit meintest, aber ich dachte,dass es deswegen falsch sei.

aber nun zur differenzierbarkeit. ist sie dort differenzierbar?

Das ist eben das Problem, das ich die ganze Zeit habe. Du sagst nie so genau, welche Stelle du betrachtest. Und davon hängt eben auch der Differenzenquotienten ab.

Also deine Funktoin ist bis auf x_0=0 überall differenzierbar. Wie oben schon bemerkt wurde, ist sie bei x_0=0 nicht stetig.

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