Galoiserweiterung

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26.01.2009, 14:47	Lenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Galoiserweiterung Hi, bräuchte einen Tipp für folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} Sei K=\mathbb Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L:=\sqrt[4]{2} \end{eqnarray}$ . Man bestimme $\begin{eqnarray} Aut_K (L). \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} K\leq L \end{eqnarray}$ eine Galoiserweiterung? Für $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ gilt ja, dass es eine Galoiserweiterung ist. Die Automorphismengruppe besteht genau aus der Identität und dem Automorphismus, der $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ konstant lässt, aber $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -\sqrt{2} \end{eqnarray}$ vertauscht. Für $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ gilt, dass es keine Galoiserweiterung ist, denn die Automorphismengruppe A besteht nur aus der Identität. Ein Automorphismus auf dieser Erweiterung, der $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ nicht fix lässt, müsste $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ auf eine andere dritte Wurzel aus 2 abbilden, jedoch enthält $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}( \sqrt[3]{2}) \end{eqnarray}$ keine weiteren dritten Wurzeln aus 2. Aber wie sieht das nun für $\begin{eqnarray} L:=\sqrt[4]{2} \end{eqnarray}$ aus? Gilt da nicht fast exakt das gleiche, wie für $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ? Demnach würde ich auch sagen, dass es eine Galoiserweiterung ist.
26.01.2009, 15:32	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst die Aufgabe doch nicht heuristisch lösen . Berechne das Minimalpolynom und schließe dann auf den Körpergrad. Schaue dann welche Nullstellen du permutieren kannst. edit: Du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray} L = \mathbb Q(\sqrt[4]{2}) \end{eqnarray}$
26.01.2009, 16:11	Lenn	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich mein $\begin{eqnarray} L = \mathbb Q(\sqrt[4]{2}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} L = K(\sqrt[4]{2}) \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} K=\mathbb Q \end{eqnarray}$ . Das Minimalpolynom hat die Form $\begin{eqnarray} x^{4}-2 \end{eqnarray}$ . Die Nullstellen $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i=\{ 1,...,4\} \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} a_1=\sqrt[4]{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=-\sqrt[4]{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3=\sqrt[4]{2}i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_4=\sqrt[4]{2}i \end{eqnarray}$ Der Körpergrad ist $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 4. 2 Nullstellen werden permutiert.
26.01.2009, 16:49	Lenn	Auf diesen Beitrag antworten »
ich mein natürlich $\begin{eqnarray} a_4=-\sqrt[4]{2}i \end{eqnarray*}$
26.01.2009, 17:17	Lenn	Auf diesen Beitrag antworten »
ich mach einfach mal alleine weiter $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_4 \end{eqnarray}$ liegen gar nicht in L, somit auch nicht in $\begin{eqnarray} Aut_K \end{eqnarray}$ . Der Grad ist =4, da $\begin{eqnarray} K=\mathbb Q \end{eqnarray}$ ein echter Teilkörper von $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ .
26.01.2009, 18:39	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt bin ich wieder aus der Uni da Der Grad ist 4 da $\begin{eqnarray} x^4-2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ irreduzibel ist. Das sieht man daran dass $\begin{eqnarray} x^4-2 = (x^2-\sqrt 2)(x^2+\sqrt 2) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} a_3,a_4 \end{eqnarray}$ liegen natürlich nicht in $\begin{eqnarray} \mathrm{Aut}_KL \end{eqnarray}$ da sie Elemente und keine Automorphismen sind . Aber du meinst das richtige, da nur 2 Nullstellen permutiert werden können folgerst du also was?
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26.01.2009, 19:36	Lenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich folgere, dass $\begin{eqnarray} \|Aut_K(L)\|\neq\|L:K\| \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} K \leq L \end{eqnarray}$ keine Galoiserweiterung.
26.01.2009, 19:40	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »

26.01.2009, 19:42	Lenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Danke für die Hilfe. Hab gleich noch eine Frage Anderes Thema.

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