Ableitung eines Winkels

26.01.2009, 15:50	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung eines Winkels Seien $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ zwei Winkel und r eine Strecke. Es gilt folgende Beziehung: $\begin{eqnarray} \gamma = r \cdot \theta ' \end{eqnarray}$ Jetzt sollte auf der rechten Seite ja von den Einheiten das gleiche stehen wie links. Allerdings kann ich mir unter der Ableitung eines Winkels jetzt nicht wirklich was vorstellen, es soll zudem noch gelten $\begin{eqnarray} \theta '=\frac{d \theta}{dx} \end{eqnarray}$ An und für sich muss ich die Sache nicht verstehen sondern für technische Mechanik stumpf auswendig lernen. Allerdings wurmt es mich dass ich die Gleichung so nicht interpretieren bzw. verstehen kann. Wen es abseits der Mathematik interessiert: Es geht hier um Scherdeformation bei Torsion, wobei Gamma der Gleitwinkel ist und Theta der Verdrehwinkel an der Stelle x bei einerm Rundstab. Habe mir schon den Kopf zerbrochen heute, gehe jetzt erstmal
26.01.2009, 18:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist ein Winkel? Darüber haben sich schon viele Gelehrte den Kopf zerbrochen. Da es hier nur um das Winkelmaß geht, brauchen wir nicht zu tief in die Problematik einzusteigen. Letztlich ist ein Winkel dann das Verhältnis eines Kreisbogens zum Gesamtumfang des Kreises. Der Bruch 1/4 entspräche also einem rechten Winkel, der Bruch 1/2 einem gestreckten Winkel und der Bruch 1/1 einem Vollwinkel. Daß man beim Bogenmaß das Ganze jetzt noch mit $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ durchmultipliziert, ist praktisch, da so der Vollwinkel denselben einheitenlosen Zahlenwert hat, wie der Umfang des Einheitskreises in der vorgegebenen Längeneinheit groß ist. Was bleibt, ist: Ein Winkel ist eine Zahl ohne Einheit. (Ich betone noch einmal, daß es hier um den Winkel als zu messendes Objekt geht, nicht um den Winkel als abstraktes geometrisches Objekt.) Und was das Gradmaß angeht, sollte man sich nicht täuschen lassen. Im strengen Sinn ist Grad gar keine Einheit, sondern bedeutet nur "mal $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ durch 180": $\begin{eqnarray} 60^{\circ} = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray}$ Das ist ähnlich wie Prozent als "durch 100": $\begin{eqnarray} 40 \, % = 40 \cdot \frac{1}{100} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \end{eqnarray}$
26.01.2009, 18:34	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das war mir jetzt aber noch nicht unbekannt. Die Frage was die Ableitung eines Winkels ist oder auch was $\begin{eqnarray} \theta '=\frac{d \theta}{dx} \end{eqnarray}$ ist haben wir aber noch nicht geklärt ?!?
26.01.2009, 19:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung ist der Limes des Differenzenquotienten einer Funktion. Offenbar ist $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ eine Funktion, die einem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ zuordnet (abhängige Variable und Funktion werden wie so oft in Anwendungsaufgaben gleich bezeichnet). $\begin{eqnarray} \vartheta' \end{eqnarray}$ gibt an, wie stark $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ bei infinitesimalen Änderungen von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ steigt oder fällt. Wenn dir diese Antwort zu allgemein ist, liegt das einfach daran, daß du die Frage so allgemein gestellt hast. Weder hast du verraten, was $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bedeuten soll, noch ist über die Beziehung $\begin{eqnarray} x \mapsto \vartheta \end{eqnarray}$ irgendetwas bekannt. Allgemeine Frage - allgemeine Antwort. Konkrete Frage - konkrete Antwort.
27.01.2009, 11:58	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Gamma sei die Scherdeformation. Man betrachte einen Stab mit kreisförmigem Querschnitt. Theta sei der Verdrillwinkel an der Stelle x in Bezug auf den nicht tordierten Stab. r Sei der Radius. Dann soll die besagte Beziehung gelten. Ich hätte dir gern Bilder dazu geliefert, kann aber dort wo ich gerade bin nicht mit Bildbearbeitungsprogrammen arbeiten :-/ X sei zudem eine Laufvariable, die entlang der Schwerpunktachse des Stabes verläuft.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »