Induktion von einer Ungleichung

26.01.2009, 16:58

Dolphon

Induktion von einer Ungleichung

Hi,

ich habe ein kleines Problem bei der Vollständigen Induktion von Ungleichungen.

$\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$

Mein Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>5 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2^n*2^1 > n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

Wie gehts es nun weiter? Hier hänge ich fest.

Gruß

Dolphon

26.01.2009, 17:22

system-agent

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RE: Induktion von einer Ungleichung

Zitat:

Original von Dolphon
$\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>5 \end{eqnarray*}$

Das ist kein Induktionsanfang.
Du musst doch hier lediglich für $\begin{eqnarray*} n=6 \end{eqnarray*}$ überprüfen ob die Aussage stimmt, das heisst:
Ist $\begin{eqnarray*} 2^6>6^2 \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Induktionsschritt:
Du nimmst ja an, dass die Ungleichheit schon gültig ist für alle kleineren $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Also:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2^n\cdot2>n^2\cdot2=... \end{eqnarray*}$ [das ist genau die Induktionsvoraussetzung]

26.01.2009, 17:33

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Möglicherweise sollte es auch $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ heißen - schließlich gilt die Ungleichung nicht erst ab 6 sondern auch schon für $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

26.01.2009, 17:59

Dolphon

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Sry, Aber irgendwie raffe ich das nicht.

das $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2^n*2 \end{eqnarray*}$ ist klar.
Aber wie kommt dann die $\begin{eqnarray*} n^2 * 2 \end{eqnarray*}$ Zustande, bzw. wo kommt die *2 her?

26.01.2009, 18:05

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Aus der Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$ folgt durch Multiplikation mit 2 die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n > 2\cdot n^2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist eine völlig normale, äquivalente Ungleichungsumformung - sowas siehst du doch nicht zum ersten Mal?

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