Konvergenz

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Grisu Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz
Hallo ich nochmal, ich hänge neben den arithmetischen Folgen noch an einer anderen Stelle und so richtig wollen mir auch die Arbeitshilfen nicht einleuchten.

Ich soll die zwei folgenden Terme mit Hilfe der Definition der Konvergenz untersuchen.

Def.: Eine Zahl heißt Grenzwert einer (unendlichen) Zahlenfolge, wenn in jeder noch so kleinen epsilon Umgebung von unendlich vieler Glieder der Folge liegen und außerhalb nur endlich viele.

Aufgabe a) an=

Als erstes muss ich den Grenzwert bestimmen und der müsste meines erachtens nach bei -1 liegen oder Null, da ja negative Wurzel nicht möglich sind. Aber weiter komme ich da auch nicht. böse

Aufgabe b)

an=

Hier kann ich mir so richtig auch keine Reim.

Bitte helft mir aus meiner Unwissenheit und vielleicht kann mir auch jemand sagen wozu ich diese Rechenarten brauche.

Vielen Dank
Grisu
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Konzentrieren wir uns zuerst einmal auf a)

0 ist schon mal ganz gut, aber wie bitte kommst du auf die Idee, dass er -1 sein könnte verwirrt

Nun musst du also zeigen, dass es ein zu einem beliebigen ein n_0 gibt, so dass für alle .

Kennst du irgendwelche Methoden, mit denen du das zeigen könntest?
Grisu Auf diesen Beitrag antworten »

Also -1 war ein Denkfehler, da ja sonst im Nenner 0 enstehen würde.
Als Beweisaert würde ich auf vollständige Induktion tippen oder?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Machs dir doch nicht so kompliziert.
Zeige, dass bei beliebig vorgegebenen G für hinreichend große n.
Wenn du dann setzt hast du deinen Konvergenzbeweis.

Edit :

Das Thema gehört aber eigentlich in den Analysis-Bereich
Grisu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss zu geben das ich immer etwas zu kompliziert denke und das ganze ist die Lösung bzw. mehr muss ich dazu nicht machen? verwirrt

Also ich habe das ganze mal für b versucht:


Ich habe den Zähler 1 und den Nenner 7 weggelassen (weil man das so in meinem Matheheft auch gemacht hat) und habe als Grenzwert:



Dann habe ich




Lösung: \lim_{n \to \infty } x

Mein Problem an sich ist, ich verstehe den Sinn am ganzen nicht so richtig. traurig

Danke für die Hilfe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grisu
Ich habe den Zähler 1 und den Nenner 7 weggelassen (weil man das so in meinem Matheheft auch gemacht hat)

Das ist aber keine gute Begründung. unglücklich

Zitat:
Original von Grisu
Dann habe ich



Hää? verwirrt
Am besten fangen wir von vorne an. Was ist nun bei der Konvergenz laut Definition zu zeigen? Da schreiben wir uns die Definition mal hin:

Eine Folge a_n heißt konvergent gegen den Grenzwert g genau dann, wenn es zu jedem epsilon > 0 eine Zahl n_0 gibt, so daß
für alle n > n_0 ist.

In Worten heißt das, daß ab einem Index n_0 alle Folgenglieder maximal den Abstand epsilon vom Grenzwert g haben. Dieses n_0 wird natürlich irgendwie von dem epsilon abhängig sein und in der Regel um so größer sein, je kleiner man das epsilon wählt.

Jetzt setzen wir man die konkrete Folge und den konkreten Grenzwert in die Definition ein. das ergibt:



Jetzt versuche mal, das nach epsilon aufzulösen.
 
 
Grisu Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst danke für den Tip. Jetzt lichtet sich langsam das Nebelfeld. Tanzen

Ich habe das ganze mal versucht aufzulösen:



Gemeinsamer Hauptnenner



Ausmultiplizieren







n\geq \sqrt{\frac{-11}{9epsilon}}[/latex]

Lsg. Wenn die Ungleichung erfüllt ist gilt

verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grisu


Wie bist du denn dahin gekommen? verwirrt
So geht es richtig:

Nach dem Ausmultiplizieren steht da:
<==

<==>

<==>

<==>


Wähle die rechte Seite gleich n_0. Fertig.
Grisu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe soweit versucht auszumultiplizieren und nach epsilon aufzulösen wie möglich und habe dann natürlich die Umkehrung nicht richtig gemacht.

Deine Berechnung ist mir soweit verständlich (vor allem besser erklärt wie in meinem Studienheft) Freude

Das einzige was ich noch nicht verstehe ist, wo ist die + 21 geblieben und warum
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