Matrixgleichung

26.01.2009, 20:12

tigerbine

Matrixgleichung

Hier fehlt mir im Moment der zündende Gedanke wie es anzugehen ist

Zitat:

Zeigen Sie, dass für ein gegebenes positiv definites X und hermitisches A, die Matrixgleichung

$\begin{eqnarray*} XH+HX = A \end{eqnarray*}$

genau eine Lösung H besitzt und dass gilt:

$\begin{eqnarray*} H=H^H \end{eqnarray*}$

Für die Eindeutigkeit hätte ich dann also angesetzt, dass man annimmt, es gäbe zwei verschiedene Lösungen. Nur wie führe ich das zum Widerspruch? Oder muss man anders vorgehen?

Gruß,
tigerbine Wink

edit:

Zusatz, noch die Überschrift der Aufgabe. Ich hänge im Beweis daran, dass imho eine pos. definite Matrix nicht zwingend hermitisch sein muss. Leider finde ich das hier alles sehr verwirrend.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} A=A^H \in \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray*}$ positiv definit. Sei $\begin{eqnarray*} X_0=X_0^H \approx A^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{k+1} \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Matrixgleichung:

$\begin{eqnarray*} X_kX_{k+1} + X_{k+1}X_k=A+X_k^2 \end{eqnarray*}$

27.01.2009, 03:03

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixgleichung
Hi Tigerbine,

Ich habe mal ne Frage zum Zusatz:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X_0=X_0^H \approx A^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, das $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ heißt ähnlich, $\begin{eqnarray*} B=A^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ könnte eine Matrix mit $\begin{eqnarray*} B^2=A \end{eqnarray*}$ sein, aber ist die eindeutig (bis auf Vorzeichen)?
Und wozu wird diese Reihe der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ überhaupt konstruiert?

Zitat:

Ich hänge im Beweis daran, dass imho eine pos. definite Matrix nicht zwingend hermitisch sein muss.

Nimm die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann ist immer $\begin{eqnarray*} x^TAx=0 \end{eqnarray*}$ . Die Matrix $\begin{eqnarray*} B=A+E \end{eqnarray*}$ ist dann positiv definit, aber nicht hermitesch.

Zum ersten Problem hab' ich mir noch nichts überlegen können.

Ciao,
Reksilat.

27.01.2009, 03:16

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixgleichung
Grüß dich,

ich würde meinen, es soll "Näherung" bedeuten. Ich habe mir die Aufgabe nicht ausgedacht, also frage mich nicht nach der Motivation. Ich hänge mal einen Shot an, dann kannst du es im ganzen sehen, mehr Infos habe ich nicht. Augenzwinkern

[attach]9690[/attach]

27.01.2009, 15:45

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Interpretation
Überlegung. Da man wohl die Startmatrix als näherung einer "Wurzelmatrix" ansieht, könnte sich, auch weil in b nahc der Konvergenz der Folge grafragt ist ggf. so was wie das Heron-Verfahren für Matrizen dahinter verbergen?

Vielleicht können wir uns so auch die Gleichung erklären. Mal sehen. Wenn das so ist, hätte man das aber auch in die Aufgabe schreiben können, oder?

Grüße Wink

27.01.2009, 23:50

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Immer einen Schritt nach dem anderen...
So, immer nach dem Motto der NKOTB:

Wir wollen zeigen, dass sollte die Matrixgleichung eine Lösung haben, dann ist diese Eindeutig. Ich verfolge meine erste Idee, mit der Annahme, es gäbe 2 Lösungen.

$\begin{eqnarray*} XH_1+H_1X =XH_2+H_2X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X(H_1-H_2)+(H_1-H_2)X =0 \end{eqnarray*}$ (*)

Nun sei X hermitisch und positiv definit. Zum einen ist X dann von der Nullmatrix verschieden. Wie können wir nun die Identität der H-Matrizen begründen? Machen wir einen neuen Ansatz, unter Berücksichtigung des Spektralsatzes für hermitische Matrizen.

$\begin{eqnarray*} X H+HX =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} UDU^H H+HUDU^H =0 \end{eqnarray*}$

Nun wenden wir darauf noch einmal unitäre Matrizen an

$\begin{eqnarray*} U^H(UDU^H H)U+U^H(HUDU^H)U =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} DU^H HU+U^HHUD =0 \end{eqnarray*}$

Und erhalten mit der orthogonal transformierten von H eine Darstellung der Art

$\begin{eqnarray*} D\hat{H}+\hat{H}D =0 \end{eqnarray*}$

die Diagonalelemente von D sind strikt positiv, die Multiplikation von links wirkt sich Zeilenweise aus, die Multiplikation von rechts Spaltenweise. Somit ergibt sich Eintragsweise, dass alle Elemente von H gleich 0 sein müssen.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \hat{H}=0 \Leftrightarrow H=0 \end{eqnarray*}$

Somit folgt auch in (*) $\begin{eqnarray*} H_1=H_2 \end{eqnarray*}$

Ferner können wir mit dieser Idee zeigen, dass eine Lösung auch hermitisch ist:

$\begin{eqnarray*} XH+HX=\tilde{A}=\tilde{A}^H=(XH+HX)^H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} XH+HX=H^HX^H+X^HH^H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} XH+HX=H^HX+XH^H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X(H-H^H)+(H-H^H)X=0 \end{eqnarray*}$

Und es folgt also: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow H=H^H \end{eqnarray*}$

Ein nächster Schritt wäre zu zeigen, dass es überhaupt eine Lösung gibt... Lesen2

Mmh. Eigentlich, da "nur" H unbekannt ist, ergeben sich ja n² Gleichungen für n² Unbekannte. Das sollte lösbar sein, oder? Die Eindeutigkeit ist ja bereits gezeigt.

28.01.2009, 03:04

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Immer einen Schritt nach dem anderen...
So hiermit Matrixfunktion Ableiten sollten wir auch den Rest gebacken bekommen. Gehen wir mal von der Vermutung eines "Matrizenheron-Verfahrens" aus.

$\begin{eqnarray*} F:~V \to V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(X)=X^2-A \end{eqnarray*}$

als V wählen wir den Vektorraum der hermitischen Matrizen. (Den sollte man sich ja basteln können? Er ist mir eben kein gängiger Begriff :ups smile

. Nun betrachten wir:

$\begin{eqnarray*} F(X+tH)=(X+tH)^2-A=X^2+tHX+tXH+t^2H^2-A \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich für die Richtungsableitungen:

$\begin{eqnarray*} DF(X)H=\lim_{t\to 0}~ \frac{F(X+tH)-F(X)}{t} =:\delta_HF(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} DF(X)H=\lim_{t\to 0}~ \frac{X^2+tHX+tXH+t^2H^2-A-X^2+A}{t}= \frac{tHX+tXH+t^2H^2}{t} = HX+XH \end{eqnarray*}$ (*)

Für das Newton-Verfahren ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} X_{k+1}=X_{k}-(DF(X_k))^{-1}(X_k^2-A) \end{eqnarray*}$

Diese Iterationsvorschrift stellen wir nun um.

$\begin{eqnarray*} DF(X_k)X_{k+1}=DF(x_k)X_{k}-(X_k^2-A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} DF(X_k)(X_{k+1}-X_{k})=A-X_k^2 \end{eqnarray*}$

Mit (*) folgt dann:

$\begin{eqnarray*} (X_{k+1}-X_{k})X_k+X_k(X_{k+1}-X_{k})=A-X_k^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{k+1}X_k-X_{k}X_k+X_kX_{k+1}-X_kX_{k}=A-X_k^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{k+1}X_k+X_kX_{k+1}=A+X_k^2 \end{eqnarray*}$

Somit haben wir gezeigt, dass die anfangs in der Aufgabe gestellte Folge dem Newton-Verfahren entspricht. Bleibt noch zu verifizieren, dass $\begin{eqnarray*} DF \end{eqnarray*}$ regulär ist.

30.01.2009, 19:48

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixgleichung

Zitat:

Original von Reksilat
Nimm die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann ist immer $\begin{eqnarray*} x^TAx=0 \end{eqnarray*}$

Bist du dir da sicher... Denn dein A ist doch nicht singulär. Wie sollte da immer 0 rauskommen?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \overline{x_1} & \overline{x_2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \overline{x_1} & \overline{x_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} = \overline{x_1}x_2 +\overline{x_2}x_1 \end{eqnarray*}$

Weiter ausgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} (a_1-ib_1)(a_2+ib_2) - (a_2-ib_2)(a_1+ib_1) =a_1a_2+ia_1b_2-ib_1a_2+b_1b_2-a_1a_2-ia_2b_1+ia_1b_2-b_1b_2 \end{eqnarray*}$

Da bleibt bei mir nun über:

$\begin{eqnarray*} 2ia_1b_2-2ia_2b_1 \end{eqnarray*}$

02.02.2009, 14:05

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixgleichung
Hast recht, kommt auch nur Quark raus, wenn ich um drei Uhr morgens noch im Matheboard bin.

Verwirrend ist das allemal, da die Definitheit in meiner Erinnerung sowieso nur für hermitesche Matrizen definiert wurde. Bei meiner Matrix kommt ja immer null oder was rein imaginäres raus, wenn man degegen fordert, dass die zugehörige Form zu einer Matrix immer in die reellen Zahlen abbildet, damit ich überhaupt eine Aussage über größer/kleiner null treffen kann, also $\begin{eqnarray*} <x,Ax>\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} <x,Ax>=\overline{<x,Ax>}=<Ax,x>=<x,A^Hx> \end{eqnarray*}$

und somit für $\begin{eqnarray*} B:=A-A^H \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} <x,Bx>=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist antihermitesch, dann laut wiki diagonalisierbar und somit die Nullmatrix, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ war also hermitesch. Für nichthermitesche $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ können wir die herkömliche Definition von Definitheit also gar nicht verwenden - wiki schlägt hier folgendes vor:

Zitat:

Eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist genau dann positiv definit, wenn ihr hermitescher Anteil $\begin{eqnarray*} A_H \end{eqnarray*}$ positiv definit ist.

$\begin{eqnarray*} A_H:=\frac{1}{2}(A+A^H) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ positiv definit und ich habe keine Ahnung, was mir das bringt.
verwirrt

02.02.2009, 15:30

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixgleichung
Mir wurde auf die Frage gesagt "Wenn ich pos. definit schreibe, dann meine ich auch hermitisch". Na super. Also ich habe (blind?) eben keinen Satz in den zugehörigen Kapiteln dazu gefunden, und nach der Definition wäre mir so eine besondere Eigenschaft schon ein Lemma wert. Auch was im reellen Fall gelten muss.

Mein Buch löst sich zu allem Überfluss gerade auf.... rate mal, welche Seiten fehlen.. böse

Also wir (ich Big Laugh

) interessieren uns für folgende Fragestellungen:

$\begin{eqnarray*} A \text{ist hermitisch} \Leftarrow^{(1)} A \text{ ist positiv definit } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \text{ist symmetrisch} \Leftarrow^{(2)} A \text{ ist positiv definit } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \text{ist hermitisch} \Rightarrow^{(3)} A \text{ ist positiv definit } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \text{ist symmetrisch} \Rightarrow^{(4)} A \text{ ist positiv definit } \end{eqnarray*}$

Ergänzend wäre noch die Frage nach dem Spektrum. Das ist ja auch immer nur für den symmetrische Fall behandelt. Kann also, im unsymmetrischen Fall eine Matrix, die nicht nur pos. Eigenwerte hat, positiv definit sein? verwirrt

Da shcließt sich ja auch die Frage an, was wenn das Spektrum nicht reell ist, dann ich mit "größer" ja nichts mehr anzufangen...C ist ja nicht geordnet.

Entweder können wir davon was beweisen, oder wir widerlegen es. Was ist denn ein hermitischer Anteil?

Dein Beispiel: maple meint die Matrix ist nicht definit.

03.02.2009, 10:50

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke auch, dass Definitheit nur für hermitesche Matrizen definiert wird, da sonst für $\begin{eqnarray*} x^HAx \end{eqnarray*}$ auch nichtreelle Werte rauskommen.

Wir nennen eine Matrix positiv definit, wenn sie hermitesch ist und $\begin{eqnarray*} x^HAx>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ .

Damit kann man arbeiten und Deine Fragestellung (1) ist dann per Definition immer erfüllt. (2) nur dann, wenn A hermitesch und gleichzeitig symmetrisch ist. (3) und (4) sind falsch, die Matrix
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
beispielsweise ist indefinit.

Das Spektrum dagegen ist doch einfach nur die Menge der Eigenwerte, das kann ich doch für beliebige Matrizen angeben.

Zu meinem Beispiel:
Nach der Wikipedia-Definition ist der hermitesche Anteil
$\begin{eqnarray*} A_H=\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
positiv definit. Die nichthermitesche Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wäre nach dieser Definition also auch positiv definit, aber was das bringen soll bleibt mir unverständlich. Ich glaube nicht, dass man das weiter verfolgen sollte.

PS: Nur für Dich, Beitrag 666 Teufel

03.02.2009, 12:59

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mein diabolischer Freund Teufel

werde mir das nachher zu Gemüte führen. Mit EW meinte ich, dass man bei reellen symm Matrizen sagen kann, dass die gdw pos def. sind, wenn das Spektrum positiv ist.

Bis dann.

03.02.2009, 19:47

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also merke: Definit ist nur für hermitische (symmetrische) Matrizen erklärt.

Dein wiki.Link ist doch wichtig. Mit dieser Zerlegung kann man nämlich das Spektrum eingrenzen! Dazu nimmt man 2 Kombinationen davon.

$\begin{eqnarray*} H_1:=\frac{1}{2}(A+A^H) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_2:=\frac{1}{2i}(A-A^H) \end{eqnarray*}$

Das sind dann zwei Hermitische Matrien

$\begin{eqnarray*} H_1^H=\frac{1}{2}(A+A^H)^H=\frac{1}{2}(A+A^H)=H_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_2^H=(\frac{1}{2i}(A-A^H))^H=-\frac{1}{2i}(-A+A^H)=H_2 \end{eqnarray*}$

Damit kann man dann die EW von A wie folgt abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{\min}(H_1)\leq Re(\lambda) \leq \lambda_{\max}(H_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{\min}(H_2)\leq Im(\lambda) \leq \lambda_{\max}(H_2) \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Matrixgleichung

Verwandte Themen