Pol gerade oder ungerade?

26.01.2009, 22:00

Sindou

Pol gerade oder ungerade?

Woran kann ich erkennen, ob ein Pol einer gebrochenrationalen Funktion mit oder ohne Vorzeichenwechsel ist.

Zum Beispiel bei dieser Funktion:

(x^2+1)/(x-3)

Die Polstelle ist bei x=3, da der Nenner hier eine Nullstelle hat und der Zähler nicht.
Woher weiß ich aber nun, ob der Pol gerade oder ungerade ist?

26.01.2009, 22:03

uwe-b

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Du musst dir $\begin{eqnarray*} (x-3) = (x-3)^1 \end{eqnarray*}$ anschauen

Hier ist die Potenz ( $\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$ ) ungerade --> VZW

Falls die Potenz gerade ist --> kein VZW

26.01.2009, 22:31

Sindou

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Wenn der Nenner also beispielsweise

1. x^3+2x^2-3 lauten würde wäre es dann ungerade, da 3 die höchste Potenz ist?

2. (x-3)^2 lauten würde, wäre es dann gerade, da 2 als Exponent gerade ist?

Das ist auf jeden Fall schonmal einfacher als Grenzwertbetrachtungen, danke. smile

27.01.2009, 08:33

uwe-b

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Zu 1. $\begin{eqnarray*} x^3+2x^2-3 \end{eqnarray*}$ hierbei weisst du ja die Nullstellen noch nicht. Falls dieses Polynom Nullstellen hat, musst du herausfinden, welche Vielfachheit diese hat.
Falls diese gerade ist --> ohne VZW
... ungerade --> mit VZW

Zu 2. Nst. des Nenners: $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ mit Vielfachheit $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ --> ohne VZW

27.01.2009, 14:49

Sindou

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Die Nullstelle ist bei x=1, daher kann man es umformen zu $\begin{eqnarray*} (x^2+3x)*(x-1) \end{eqnarray*}$

Die Nullstelle kommt 1x vor, also $\begin{eqnarray*} (x-1)^1 \end{eqnarray*}$ und damit ist es ein ungerader Pol.
Stimmt das so?

27.01.2009, 14:52

uwe-b

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ja... und mit $\begin{eqnarray*} (x^2 +3x) = x (x-3) \end{eqnarray*}$ genauso.

27.01.2009, 14:56

Sindou

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Eine letzte Frage noch, dass müsste es das gewesen sein Augenzwinkern

:

Was ist wenn im Nenner ungerade und gerade Exponenten der Nullstellen auftreten. Bsp:

$\begin{eqnarray*} (x-3)^2(x-2) \end{eqnarray*}$

Dann haben wir einen geraden und einen ungeraden Exponenten. Zählt dann der höchste Exponent (also in diesem Fall die 2) und damit wäre der Pol gerade/ohne VZW?

27.01.2009, 14:57

uwe-b

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Ich sehe grad, dass du dich bei der Polynomdivision versehen hast.

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ist zwar eine Nullstelle, aber $\begin{eqnarray*} x^3+2x^2-3 \neq (x^2+3x)(x-1) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (x-1)(x^2+3x+3) \end{eqnarray*}$

27.01.2009, 14:58

uwe-b

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Du musst es für jeden Pol betrachten.

$\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ --> Pol ohne VZW

$\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ --> Pol mit VZW

27.01.2009, 15:02

Sindou

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Stimmt, hätte ich selber drauf kommen können. Hammer

Zitat:

Ich sehe grad, dass du dich bei der Polynomdivision versehen hast.

Ich hab das mit dem Horner Schema gerechnet und dabei die $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ Potenz verschlampft, mein klassischer Fehler.

Danke für deine Hilfe. Freude

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