Zusammenhang: Normalenvektor, Gaußscher Algorithmus, Schnittpunkt 3er Ebenen?

26.01.2009, 22:06	freudibold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang: Normalenvektor, Gaußscher Algorithmus, Schnittpunkt 3er Ebenen? Hallo! Gleich zu Beginn: Ich brauch keine Komplettlösung der Aufgabe, nur ein kleiner Tipp wäre gut Die Aufgabe: 1. Die Ebenen E1, E2 und E3 haben die Normalenvektoren $\begin{eqnarray} n_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , sie schneiden die x-Achse für x=a, x=b bzw. x=c. Bestimmen Sie mithilfe des Gaußschen Algorithmus die Matrix A so, dass die Koordinaten des Schnittpunkts (x, y, z) der 3 Ebenen durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ berechnet werden! Folgendes Problem: Ich seh nichmal ansatzweise eine Idee für einen Lösungsweg. Ich weiß was Normalenvektoren sind und ich weiß was der Gaußsche Algorithmus (ist doch der Gaußsche Lösungsalgorithmus für Gleichungssysteme oder?) ist aber einen Zusammenhang sehe ich da nicht. Danke schonmal für Eure Tipps, der freudi
27.01.2009, 00:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die Koordiantengleichung aller drei Ebenen mittels der gegebenen Normalvektoren und dem jeweiligen Schnittpunkt auf der x-Achse bestimmen. Für die erste Ebene zeige ich dir dies: S1(a; 0; 0) -> E1: x + 3y + 2z = a (auf der rechten Seite muss a stehen, weil du in der allgemeinen Gleichung x + 3y + 2z = d den Punkt S1 einsetzen musst, daraus -> d = a). Nachdem nun alle drei Ebenen in dieser Form vorliegen, ist für die Bestimmung des Schnittpunktes der drei Ebenen das zugehörige lGS nach x, y, z zu lösen. Das System wird als Matrixgleichung geschrieben und infolge der besonderen Angabe (alle Koeffizienten der x-Glieder sind 1) stehen auf der rechten Seite schon a, b und c direkt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ .. & .. & .. \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit ist links die 3,3 - Matrix nur noch zu invertieren (-> A) und letztendlich von links mit ihr zu multiplizieren ... mY+
27.01.2009, 11:42	freudibold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, jetz hab ichs kapiert

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