Hinreichende Bedingung für Invertierbarkeit 3x3 Matrix

26.01.2009, 22:07	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinreichende Bedingung für Invertierbarkeit 3x3 Matrix Hey Ho, in einer Altklausur liest man, dass die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ "aus Körperelementen" (Körper nicht gegeben) offensichtlich nicht regulär ist, wenn a,b und c nicht verschieden sind oder ein Element 0 ist. Ist es für Invertierbarkeit hinreichend, wenn a,b,c paarweise verschieden und ungleich 0 sind? Hab erstmal naiv versucht, das Gegenteil zu beweisen (wollte also Zeilen oder Spaltenvektoren voneinander abhängig machen). Aber wegen Fermat $\begin{eqnarray} a^3+b^3=c^3 \end{eqnarray}$ gehts mit den natürlichen Zahlen nicht und die negativen ganzen Zahlen sind wegen der zweiten Zeile auch unbrauchbar. Mit komplexen hab ichs auch net auf Anhieb hinbekommen. Und für das Kopfrechnen mit irrationalen Zahlen braucht man nach Prof. Nachtigaller mindestens 3 Gehirne Ich bin erst über die Determinante (muss ungleich 0 sein) gegangen und bekam einen Brocken. Dann mal im Fischer gelesen und der empfiehlt Rangbestimmung (muss gleich 3 sein) und bekam interessanter Weise in der Komponente 3-3 der Stufenform den selben Brocken. Diesen habe ich bisher so weit vereinfachen können: $\begin{eqnarray} a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a) \stackrel{!}{=} 0 \end{eqnarray}$ Oder eben ungleich 0, je nachdem was die Lösung ist. Mittlerweile tippe ich stark, die Bedingung ist hinreichend, aber wie erkenne ich das? Wer sieht in meinem Brocken sofort, dass der für $\begin{eqnarray} a \neq b \neq c \neq 0 \end{eqnarray}$ (nicht) lösbar ist?
26.01.2009, 22:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante ist abc(b-a)(c-a)(c-b)
26.01.2009, 22:14	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Genial. Wie riecht man das?
26.01.2009, 22:20	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
In Maxima eingeben und auf vereinfachen drücken
26.01.2009, 22:29	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm. Gut das hätte ich mal machen sollen um zumindest zu wissen, wohin die Reise geht. Aber weil das ne Altklausur ist und als solche eine realistische Klausuraufgabe und da nur Skript und Stift zugelassen sind, wird das wohl schwer mit kleinen Helferlein. Gibts ne andere Methode, bzw. eine transparente Darstellung wie man das in deine Form bringt?
26.01.2009, 22:34	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar funktioniert das auch zu Fuß. abc ausklammern sollte kein Problem sein. Dannach Polynomdivision durch die restlichen linearen Terme. Das es gerade diese sind weißt du ja denn du hast bereits gesehen dass die Matrix nicht invertierbar ist wenn 2 der Variablen gleich sind. Dann siehst du das nichts mehr übrig bleibt um die Determinante 0 zu machen
Anzeige

26.01.2009, 23:16	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musste mir nochma genauer erklären. Das abc ausklammern hab ich ja gemacht und erhalte dann den Brocken einen Schritt vor meinem Brocken. Das is ein interessanter Vorschlag mit der Polynomdivision. Ich kannte das bisher immer so: Man teilt durch eine bekannte Nullstelle. Bekannte Nullstellen sind: $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ und ihre Potenzen bzw. Differenzen aus zwei dieser Elemente. Das ist ja nichts anderes als Ausklammern, aber da komme ich dann auf komplizierte Brüche. Irgendwas mach ich falsch oder so Ich mein: ich kann ja nicht einfach von der anderen Seite anfangen "Aus der Aufgabenstellung sind folgende Nullstellen bekannt: ..." Sie werden nun als Produkt nach folgendem Muster zusammengesetzt und voilá, es steht bereits die Determinante da... Wobei... cool wär das schon
27.01.2009, 01:35	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutzt man die Linearität der Determinante in jeder Spalte, so läuft es auf die wohlbekannte Vandermonde-Determinante hinaus.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »