Beweis Metrik bei Max.Metrik

27.01.2009, 01:30

Sandara

Beweis Metrik bei Max.Metrik

Guten Abend Wink

ich kaue jetzt seit zwei Tagen an einer Aufgabe rum, bei der ich nicht weiß, wie ich sie anpacken soll.

Es seien die Abbildungen (mit $\begin{eqnarray*} x,y \in R^n \end{eqnarray*}$ ) gegeben:

$\begin{eqnarray*} p_1(x,y) := \sum_{i=1}^n~|x_i - y_i| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_\infty (x,y) := \max_{i} |x_i - y_i| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_d (x,y) := \{ 1 \to x\neq y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \to x=y \end{eqnarray*}$

Man soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} p_\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_d \end{eqnarray*}$ Metriken sind.

Ich muss dazu drei Axiome abprüfen:

1) positive Definitheit
2) Symmetrie
3) Dreiecksungleichung

Für $\begin{eqnarray*} p_d \end{eqnarray*}$ hätte ich den Ansatz:

Es handelt sich ja um eine diskrete Metrik, d.h.

zu 1) laut Definition muss $\begin{eqnarray*} d(x,y) \geq 0 \end{eqnarray*}$ gelten.
Das tut es ja, wenn $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$
Da laut Definition/ Vorgabe in der Aufgabe das schon so gegeben ist, muss ich da eigentlich nichts mehr gesondert zeigen?! Denn es gilt doch: $\begin{eqnarray*} p(x,x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(x,y)=1 \end{eqnarray*}$ .

zu 2) Da bin ich mir nicht sicher. im Falle = 0 ist es symmetrisch. IM Falle = 1 hab ich ja :
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=|x-y|=1 \to |y-x|=1 \end{eqnarray*}$ . Mein Problem ist ein wenig, ob das reicht?!

zu 3) $\begin{eqnarray*} d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \end{eqnarray*}$ und in dem einen Fall ("=" Augenzwinkern

ist die Ungleichung erfüllt für x=z und in dem anderen Fall, wenn $\begin{eqnarray*} x \neq z \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \neq z \end{eqnarray*}$

Das wären mal so meine Versuche im diskreten Metrikfall.

Aber was mache ich denn bei der Maximums-Metrik? WIr hatten das ganz kurz in der VL in einem Schaubild angesprochen und ich weiß, dass es ein Quadrat um den Einheitskreis ergibt. Ich weiß aber nicht genau, ob ich das Wissen benötige?!

ICh schreibe das mal um in $\begin{eqnarray*} p_\infty (x,y) = max(|x_i|,|y_i|) \end{eqnarray*}$ . Ich hadere ein wenig mit dem max, ich bekomme das nicht mehr zusammen, was das bedeutet unglücklich

Ob ihr mir helfen könnt?

Liebe GRüße
Sandra

27.01.2009, 01:47

JustPassingBy

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Also zu zeigen, dass die Maximummetrik eine Metrik ist, müsste eigentlich direkt von der Definition folgen.
Setze einfach mal die Maximummetrik in die Axiome ein, dann hast du schon gut die halbe Lösung dastehen.
Übrigens ist die Definition der Maximummetrik ganz unten in deinem Post falsch.

Wie ist eigentlich die dritte Metrik definiert?
Da hat sich irgendein Fehler eingeschlichen.

27.01.2009, 02:18

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} p_d(x,y):=\begin{cases}1 & x\neq y \\ 0 &x=y \end{cases} \end{eqnarray*}$

Was wird den max wohl bedeuten... Maximum... mach dir das mit konkreten Zahlen doch einmal klar. Augenzwinkern

Eigentlich ist es wirklich nur einsetzen, gerade für die ersten Axiome. Du darfst hier natürlich den Wissen über Beträge anwenden. Also, dass man Faktoren, wir z.B. (-1) betragsmäßig rausziehen darf. Ebenso darfst du die Dreiecksungleichung für Beträge verwenden. Mit dem max muss man dann halt noch ewas aufpassen, dass man einen Zwischenschritt nicht vergisst.

Bei der p-Metrik musst du einfach Fallunterscheidungen mit der Definition machen. Mehr steht einem ja auch nicht zur Verfügung. Aber das sollte auch gehen. Beträge haben da imho nix verloren.

27.01.2009, 07:21

Sandara

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Zitat:

Original von JustPassingBy

Wie ist eigentlich die dritte Metrik definiert?
Da hat sich irgendein Fehler eingeschlichen.

Guten Morgen,

jetzt weiß ich nicht genau, was du mit der dritten Metrik meinst? Meinst du $\begin{eqnarray*} p_d \end{eqnarray*}$ ?

@Tigerbiene:

Wie ich schon sagte, es ist vertraut und doch wirkt es neu....Konvergenz und Divergenz hatten iwr zur GEnüge, aber Folgen und Reihen hatten wir im Gym so gut wie gar nicht. UNd ich war mir nicht sicher, ob max auch Maximum meint Augenzwinkern

Mit den Beträgen, die da nicht hingehören: sprichst du das zweite Axiom an?

27.01.2009, 12:34

tigerbine

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Nim doch mal zwei Vektoren, bilde die Differrenz komponentenweise und mach noch einen Betrag draus. max bedeutet also, an welcher Stelle steht das größte element.

Setzt einfach mal nur in die definition ein. dann sehe ich, ob du mich richtig verstanden hast.

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