Rechnen mit divergenten Folgen

27.01.2009, 08:08

Sandara

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Rechnen mit divergenten Folgen

Guten Morgen Wink

Wink

irgendwie bekomme ich kein Licht ins Dunkel...

Wenn ich zeigen bzw. widerlegen möchte, dass die Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier divergenter Folgen ebenfalls divergent ist, dann suche ich mir doch einfach zwei divergente Folgen und versuche es anzuwenden?!

Ich dachte an diese beiden Folgen:

$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ ist divergent
$\begin{eqnarray*} b_n=2^n \end{eqnarray*}$ ist divergent.
Die Summe ist $\begin{eqnarray*} c_n=a_n+b_n=(-1)^n+2^n \end{eqnarray*}$
Wenn ich wissen will, ob sie konvergiert/ divergiert, dann bilde ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}c_n = \lim_{n \to \infty} ((-1)^n+2^n) \end{eqnarray*}$

Ist das aber richtig? Das ergibt doch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ((-1)^n+2^n) = \lim_{n \to \infty} (-1)^n+ \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty + \infty = \infty \end{eqnarray*}$

Beim Recherchieren aber fand ich eine ähnlich Fragestellung und man nahm zwei andere Folgen und zwar $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n=(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ als divergierende Folgen. Ich bin aber etwas stutzig geworden, da ich 1.) die Folgen als Teilfolge einer Folge sehe?! und 2.) wenn n ungerade ist, ist dann $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ nicht eine konvergierende Folge?

Als Ergebnis bekamen die wiederum raus, dass die SUmme und das Produkt nicht divergent sind.

Und nun weiß ich nicht : Bin ich auf dem Holzweg?

Lesen2

Lesen2

Hilfe...

GRüße
Sandra

27.01.2009, 09:00

AD

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Für die Summen zweier Folgen gilt folgendes:

konvergent + konvergent = konvergent

Das dürfte bekannt sein. Als einfache Folgerung daraus ergibt sich

konvergent + divergent = divergent

ABER: Für "divergent + divergent" gibt es keine dermaßen pauschal greifende Regel, da kann alles mögliche passieren. Wenn man das "divergent" genauer eingrenzt, kann man noch ein wenig rausholen:

bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ + nach unten beschränkt = bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ + nach oben beschränkt = bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

Zu "nach unten beschränkt" gehören u.a. auch "bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ", aber auch noch vieles mehr...

27.01.2009, 09:08

Airblader

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RE: Rechnen mit divergenten Folgen

Zitat:

Original von Sandara
Wenn ich wissen will, ob sie konvergiert/ divergiert, dann bilde ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}c_n = \lim_{n \to \infty} ((-1)^n+2^n) \end{eqnarray*}$

Richtig, daran ist ja auch nichts verkehrt.

Zitat:

Das ergibt doch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ((-1)^n+2^n) = \lim_{n \to \infty} (-1)^n+ \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty + \infty = \infty \end{eqnarray*}$

Das hier ist es sehr wohl. Statt des Grenzwertes einer Summe die Summe der Grenzwerte zu betrachten ist nur dann zulässig (Grenzwertsätze!), wenn die Teilfolgen konvergent sind; und das ist, wie du ja extra gesagt hast, eben nicht der Fall.

air

27.01.2009, 09:17

AD

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Ganz abgesehen davon, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (-1)^n = \infty \end{eqnarray*}$ falsch ist. unglücklich

unglücklich

Allerdings fällt $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ in die Kategorie der beschränkten Folgen...

27.01.2009, 09:28

Sandara

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@ Dent:

Uuuuh, vor lauter Grenzwerte bring ich was durcheinander. Klar, der Grenzwert von (-1)^n ist nicht unendlich, der WErt springt ja zwischen +/- 1.

*schäm*

27.01.2009, 11:18

Sandara

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Also, ich bin mir jetzt nicht sicher, wie ich das anpacken soll....... unglücklich

unglücklich

wenn ich zwei Folgen wähle, die bestimmt unendlich sind, sind das nicht z.B. $\begin{eqnarray*} a_n=n^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n=n \end{eqnarray*}$
??

Ich weiß nicht, wie ich es allgemein zeigen soll (also auf welchem Weg), was genau passiert?

Addiere ich diese Folgen, dann hätte ich $\begin{eqnarray*} c_n=n^2+n \end{eqnarray*}$ . Durch Umformen (was ich hoffentlich darf) erhielte ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} c_n=n^2(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

Dann wäre aber mein Ergebnis divergent, weil es wieder gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht?

Ich hab ein regelrechtes Brett vor dem Kopf...... verwirrt

verwirrt

, wir haben das Thema erst angefangen und ich weiß gar nicht, was ich alles an "WErkzeug" nutzen soll, um das zu zeigen....

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27.01.2009, 12:07

Airblader

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Es kommt drauf an, wie genau du argumentieren musst. Wenn du mit der Definition arbeiten sollst, musst du das auch. Es kann aber auch sein, dass du bei deinem Beispiel davon ausgehen darfst, dass es einfach ganz trivial ist und bestimmt divergiert.

air

02.02.2009, 08:16

Sandara

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Nur nochmal nachgefragt, denn wir haben wieder solche eine Aufgabe auf dem Blatt. Und die erste Aufgabe hier im Post war unsere HA und da haben wir bisher keine Korrektur zurück, ich weiß also nicht, ob meine Ausführungen in den HA richtig waren (kriegen wir erst morgen wieder).

Bei den HA habe ich es mit je zwei divergenten Folgen ausgeführt und gehofft, dass es passt.

Nun haben wir die Aufgabe, jeweils zwei divergente Folgen zu finden, für die die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n+b_n) \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

Hab ich da nicht schon wieder das Problem?

Ich nehme mal zwei Folgen:

$\begin{eqnarray*} a_n=n, b_n=2^n \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich die addiere, dann hab ich doch nie nimmer nicht eine konvergente Folge verwirrt

verwirrt

02.02.2009, 08:19

klarsoweit

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Du sollst ja auch 2 divergente Folgen finden, für die das paßt. Offensichtlich hast du nicht die passenden Folgen gefunden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.02.2009, 08:41

Sandara

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Da gibt es doch bestimmt eine mathematisch saubere Methode, oder? Ein Mathematiker wird doch nicht einfach mal Folgen rauspicken und solange miteinander probieren, bis es passt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe gerade mal meine Aufschriebe durchstöbert und stoße dabei auf Majoranten. Aber die wurden in der VL als Prüfung auf Konvergenz/ Divergenz zweier Folgen genutzt, um zu schauen, ob die eine Folge eine Majorante/ Minorante für die andere ist. Fällt also weg...

Ich bin da einfach überfragt, wie ich da rangehen soll verwirrt

verwirrt

02.02.2009, 08:46

AD

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Zitat:

Original von Sandara
Da gibt es doch bestimmt eine mathematisch saubere Methode, oder? Ein Mathematiker wird doch nicht einfach mal Folgen rauspicken und solange miteinander probieren, bis es passt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Doch, das macht er. Er hat allerdings das Auge, gleich mal die Auswahl auf erfolgversprechende Beispiele einzugrenzen, statt blind zu probieren.

Hier würde er die Folgen so wählen, dass $\begin{eqnarray*} a_n+b_n=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist. Denn dann ist mit Wahl einer divergenten Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ automatisch $\begin{eqnarray*} b_n=-a_n \end{eqnarray*}$ auch divergent.

02.02.2009, 09:17

Sandara

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Mh, irgendwo hab ich das doch schon mal gesehen.....jetzt durchsuche ich meine Aufschriebe doch nochmal, denn die Erklärung, warum, die hätte ich gern Augenzwinkern

Augenzwinkern

und wüsste das aus dem Stehgreif im Moment nicht.
Danke für den Hinweis.....ich geh mal schauen Wink

Wink

02.02.2009, 09:19

AD

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Du musst doch jetzt nur noch eine divergente Folge finden, z.B. $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} b_n=-n \end{eqnarray*}$ , fertig. Da gibt's doch nix mehr nachzusehen.

02.02.2009, 09:25

Sandara

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ICh wüsste einfach gern, warum $\begin{eqnarray*} a_n+b_n=0 \end{eqnarray*}$ genommen werden kann und da hab ich irgendwas in den Aufschrieben gesehen. Da besteht ein Zusammenhang und den seh ich grad nicht, aber ich würde es einfach gern nachvollziehen, WARUM der Mathematiker das wählt. Wie gesagt, wir haben erst angefangen und ich hab noch nicht die Uni-Basis zur Verfügung.

Das klappt aber nicht beim Produkt oder dem Quotienten, oder?

02.02.2009, 09:42

AD

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Zitat:

Original von Sandara
ICh wüsste einfach gern, warum $\begin{eqnarray*} a_n+b_n=0 \end{eqnarray*}$ genommen werden kann

Weil die Folge, die konstant gleich Null ist, offensichtlich konvergent ist.

Zitat:

Original von Sandara
WARUM der Mathematiker das wählt. Wie gesagt, wir haben erst angefangen und ich hab noch nicht die Uni-Basis zur Verfügung.

Das hat nichts mit Uni-Basis zu tun, häng das mal nicht so hoch. Zum WARUM schau mal in den Infotext meines Profils.

EDIT: Mal anders erklärt: Gesucht sind Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n),(c_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n+b_n=c_n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ divergent und $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ konvergent.

Du versuchst nun krampfhaft divergente $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ festzulegen in der Hoffnung, dass mal ein konvergentes $\begin{eqnarray*} c_n=a_n+b_n \end{eqnarray*}$ rausspringt. Da du blind probierst, scheiterst du.

Warum nicht den Spieß umdrehen? Aus der Summenbedingung folgt ja durch Umstellung $\begin{eqnarray*} b_n = c_n-a_n \end{eqnarray*}$ , also kann man so vorgehen:

Ein konvergentes $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ und ein divergentes $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ raussuchen, schon ist GESICHERT (siehe auch meinen ersten Beitrag hier im Thread!), dass $\begin{eqnarray*} b_n = c_n-a_n \end{eqnarray*}$ divergent ist. Und der Einfachheit halber nehme ich für $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ eben die Nullfolge.

02.02.2009, 10:02

Sandara

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Zitat:

Original von Arthur Dent Das hat nichts mit Uni-Basis zu tun, häng das mal nicht so hoch. Zum WARUM schau mal in den Infotext meines Profils

(zu Infotext) Und da stimme ich dir voll und ganz zu Freude

Freude

, das ist eigentlich meine Meinung.
ich muss einfach mal Klarheit in dem Chaos haben, das hier in meinem Kopf herrscht. Und bis dahin mache ich "dumme" Fehler (gut, dass mein Mathelehrer hier nciht mitliest, er wäre entsetzt) und falle immer wieder auf die Nase.

Im 2. Semester wird´s hoffentlich etwas besser, dann hab ich mich an die Uni einigermaßen gewöhnt.

A propos Uni-Basis: Wir machen in der Uni alles ein wenig anders als wir es in der Schule gemacht haben, deswegen bin ich auch so verunsichert, weil ich viele Male nicht weiß, ob ich das aus der Schule anwenden kann oder ob ich das formell machen muss (sooo viele Definitionen Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Grad mit dem Grenzwert: wir haben in der Schule schon gekürzt, aber dann nur geschaut, was passiert. So müsste es hier auch laufen, aber dann kommt die BEdingung für Monotonie (Differenz der Folgeglieder) und dann denk ich: ja, hoppla, muss ich das verwenden, oder bilde ich den Grenzwert und sage eben: Gibt es einen, dann ist die Folge....
Nicht, dass einer denkt, ich will jammern, denn mich zwingt ja keiner in die Uni, aber in meinem Kopf herrscht heilloses Chaos (warum auch immer) und das ist eines meiner persönlichen "Kämpfe" im Moment.

Braucht halt Zeit smile

smile

Und nun geh ich an die anderen Aufgaben Wink

Wink

Nachreich: Danke für dein Edit. Jetzt ist es viel verständlicher....

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