Basisbestimmung

27.01.2009, 11:44

Bjoern1982

Basisbestimmung

Hallo,

es geht um folgende Aufgabe:

sei V=IR³ mit Basis B=(b1,b2,b3)
sei f ein Endomorphismus von V mit f(b1)=b1 und f(b2)=b2 und f(b3)=b1+b2
Gesucht ist nun eine Basis C=(c1,c2,c3) von V, so dass $\begin{eqnarray*} M_C(f) \end{eqnarray*}$ JNF hat.

Wie kann ich hier vorgehen ?
Ich habe noch viele solche Aufgabentypen, wo nie eine konkrete Basis genannt wird - kann ich dann immer die Standardbasis nehmen ?

Läuft das aller wieder darauf hinaus, dass ich eine Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} M_B(f) \end{eqnarray*}$ zur (Standard)basis B berechne, dieses auf JNF bringe, um dann nachher eine Matrix S zu finden, so dass $\begin{eqnarray*} S^{-1}M_B(f)S=J \end{eqnarray*}$ gilt oder wie funktioniert das ganze ?

Gruß Björn

27.01.2009, 12:53

Sly

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Naja...wie schaut denn die Darstellende Matrix zur Basis B aus?

Wenn du dir das mal anschaust, siehst du, dass das schon recht nah an JNF ist...dann kannst du dir überlegen, was du an der Basis verändern musst, damit es schließlich zur JNF wird.

Zu deiner 2. Frage: Dir wird sicherlich keiner den Kopf abbeißen, wenn du so eine Aufgabe beginnst mit den Worten "o.B.d.A. B die Standardbasis", aber es muss nicht unbedingt sein.

Zur 3. Frage: Jein. Du musst nicht UNBEDINGT das S kennen...was du aber auf jedenfall machen musst, ist es, dir eine passende neue Basis aus der gegeben zu konstruieren, sodass damit JNF erreicht wird. Dafür solltet ihr in der Vorlesung einen Algorithmus gehabt haben.

29.01.2009, 22:48

Bjoern1982

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Tut mir leid, dass ich erst jetzt antworte.
Ich poste mal meine Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} M_B(f)=A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da A eine obere Dreiecksmatrix ist sind die Eigenwerte direkt ablesbar:

c=0 ---> AV=1

c=1 ---> AV=2

Eigenräume sind:

$\begin{eqnarray*} E_0=LH[\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1=LH[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

Da für jeden Eigenwert AV=GV gilt liegt dann doch der Spezialfall der Diagonalmatrix vor und die gesuchte Basis besteht nur einfach aus Eigenvektoren der beiden Eigenräume:

$\begin{eqnarray*} C=[\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung oder ist eine andere Begründung angebrachter ?

Gruß Björn

29.01.2009, 22:56

tigerbine

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Zitat:

Original von Sly
Zu deiner 2. Frage: Dir wird sicherlich keiner den Kopf abbeißen, wenn du so eine Aufgabe beginnst mit den Worten "o.B.d.A. B die Standardbasis", aber es muss nicht unbedingt sein.

Wäre ich mir hier nicht so sicher. Es ist eben einfach eine Basis B gegeben. Bzgl. der kann man die "typischen" Koordinatenvektoren verwenden.

edit:
Matrix sollte stimmen.

edit2:
Auch die Diagonalmatrix sollte richtig sein, hier konnte man es also einfach sehen. An die Koordinatenvektoren würde ich aber noch ein _B anhängen. Da man C aus B gewinnt.

29.01.2009, 23:11

Bjoern1982

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Zitat:

Matrix sollte stimmen.

Sprich also mein Ergebnis oder meinst du nur die Abbildungsmatrix bzgl B ?

Edit: Ok Augenzwinkern

Zitat:

Wäre ich mir hier nicht so sicher. Es ist eben einfach eine Basis B gegeben. Bzgl. der kann man die "typischen" Koordinatenvektoren verwenden.

Wie gesagt kommt das in etlichen Aufgaben so vor, dass keine konkrete Basis gegeben ist - am Einfachsten wird es doch immer sein einfach dann die Standardbasis zu wählen oder ?

29.01.2009, 23:32

tigerbine

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Wenn KEINE dasteht, kannst du das machen. Das machen die Aufgabensteller wohl auch. Augenzwinkern

Aber wenn so was wie hier mit B und C dasteht, dann solltest du das nicht machen.

29.01.2009, 23:41

Bjoern1982

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Alles klar, danke Wink

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