Existenz einer Lösung

27.01.2009, 12:24	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz einer Lösung Hallo, es geht um diese Aufgabe: Zeige, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} x=e^{-x} \end{eqnarray}$ in einem geeigneten Intervall [a,b] mit a>0, genau eine Lösung besitzt und dass das Iterationsverfahren $\begin{eqnarray} x_{k+1}=e^{-x_k} \end{eqnarray}$ dagegen konvergiert. Zeige auch dass diese Gleichung nur diese Lösung in IR besitzt. Ich würde das einfach mit etwas Kurvendiskussion bze dem Zwischenwertsatz beim ersten Teil und das Zeigen in ganz IR wie gesagt mit Kurvendiskussion der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-x}-x \end{eqnarray}$ machen. Wie zeige ich die Konvergenz ? Gruß Björn
27.01.2009, 12:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die Schnelle Die Iterationxvorschrift ist vorgegeben. Um was für eine Iteration handelt es sich hier? Welchen Satz sollte man ggf. mal prüfen?
27.01.2009, 20:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit ein bisschen mehr Zeit So, also aus dem Wissen der Analysis würde ich meinen, man darf einfach sagen, dass die eine Funktion streng monoton steigt, die andere streng monoton fällt. Damit kann man sagen: Gibt es einen Schnittpunkt, so ist dies der einzige Das klärt noch nicht, dass es ihn gibt. Zoomen wir etwas näher ran. Da wir hier eine Fixpunktiteration betrachten, schreit die Aufgabe danach, Banach zu checken. Mit IR haben wir einen Banachraum, mit [0,1] auch eine Selbstabbildung (ich belasse es bei der Skizzen, du musst das begründen!). Wie sieht es mit der Kontraktionaus? $\begin{eqnarray} f(x):=\exp(-x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=-\exp(-x) \end{eqnarray}$ Die Steigung ist also negativ und wird betragsmäßig immer keiner. Um Diskussionen mit der Gleichheit zu ^zu vermeiden, reduzier' das Intervall noch ein wenig. somit sind alle Bedingungen erfüllt, und Satz sichert Existenz sowie Konvergenz gegen eindeutig bestimmten Fixpunkt.
27.01.2009, 22:02	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, mit Banach geht das wirklich alles in einem Mit dem Wissen aus der Analysis meinte ich eher sowas wie: Betrachtung von $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-x}-x \end{eqnarray}$ mit f stetig in ganz IR $\begin{eqnarray} f '(x)=-e^{-x}-1<0 \end{eqnarray}$ für alle x ---> keine Extremstellen, str. mo. fall. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty} f(x) =\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} f(x) =-\infty \end{eqnarray}$ f(0)=1>0 f(1)=(1/e)-1<0 Aus ZWS folgt dass in [0,1] eine Nullstelle existieren muss und aufgrund der vorigen Ergebnisse auch die einzige in IR. Oder irre ich da ? Danke für deine Hilfe
27.01.2009, 22:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei solchen Aufgabentypen würde ich es immer erst mit Banach probieren. Alternativ nun aber, wenn wir die Existenz genau einer Nullstelle zeigen wollen, kannst du so vorgehen. Ich würde sogar die Grenzwerte weg lassen und einen pos und einen neg. Funktionswert angeben. Der ZWS liefert dann die Nulstelle, die Monotonie der Funktion die Einmaligkeit.
27.01.2009, 22:27	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals danke
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