Lösen eines 2X3 LGS

27.01.2009, 14:49

chrisrude

Lösen eines 2X3 LGS

Hallo ich bin gerade an folgender Aufgabe

$\begin{eqnarray*} 3x + 2y - 5z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x - y + 3z = 4 \end{eqnarray*}$

Ich habe ich etliche Verfahren versucht komme aber einfach nicht weiter.

Vielleicht könnte mir jemand helfen?

27.01.2009, 14:53

uwe-b

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Additionsverfahren hilft...

Addiere das 2-fache der 2. Gleichung zur 1.

27.01.2009, 15:16

Gualtiero

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RE: Lösen eines 2X3 LGS
@chrisrude
Meiner Meinung nach brauchst Du noch eine dritte Gleichung, um jede Variable zu bestimmen.

Gruß
Gualtiero

27.01.2009, 15:55

uwe-b

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RE: Lösen eines 2X3 LGS
@ Gualtiero: Das muss aber nicht notwendig sein. Dies ist ein unbestimmtes Gleichungssystem.

27.01.2009, 17:35

chrisrude

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So das habe ich gemacht bei mir kommt raus

$\begin{eqnarray*} 7x + z = 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x - y + 3z = 4 \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich für x=1 eingesetzt, dann ist

nach auflösen nach z und y x=1, y=1, z=1.

Setzt man allerdings für x=0 so ist y=20 und z=8.

Dann hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Stimmt das?

Denn die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen Sie alle Lösungen des GLeichungssystems.

Und haben alle 2X3 LGS unendlich viele Lösungen?

27.01.2009, 17:52

sulo

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 7x + z = 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x - y + 3z = 4 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. Freude

Jetzt kannst Du für die Variable z einen Ausdruck mit x finden.

Zitat:

jetzt habe ich für x=1 eingesetzt, dann ist nach auflösen nach z und y x=1, y=1, z=1.
Setzt man allerdings für x=0 so ist y=20 und z=8

Ich weiß nicht, was Dir das bringt ... verwirrt

Ich würde eher versuchen, jetzt noch die Variable y durch einen Ausdruck mit x zu ersetzen.
Dann hast Du nur noch die Variable x.

LG sulo

27.01.2009, 23:54

chrisrude

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Das versteh ich irgendwie nicht.

Einsetzen ist jetzt doch die einzigste Möglichkeit.

Ich sehe jedenfalls keine Möglichkeit z in der ersten Gleichung zu eliminieren, ohne dass y in der 1 Gleichung wieder auftaucht.

Vielleicht könnt ihr mir da weiterhelfen.

28.01.2009, 10:46

sulo

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RE: Lösen eines 2X3 LGS
Ich meine Folgendes:

Aus $\begin{eqnarray*} 7x + z = 8 \end{eqnarray*}$ kannst Du bilden: $\begin{eqnarray*} z = 8 - 7x \end{eqnarray*}$

Und wenn Du z jetzt in eine der Gleichungen (ich nehme die 2.) einsetzt, erhältst Du:

$\begin{eqnarray*} 2x - y + 3(8 - 7x) = 4 \end{eqnarray*}$

Das kannst Du auflösen nach: $\begin{eqnarray*} y = 20 - 19x \end{eqnarray*}$

Ziel der Berechnung eines LGS ist doch die Errechnung der Variablen. Da Du hier mehr Variablen als Gleichungen hast, kannst Du halt nur 2 der Variablen in Abhängigkeit von der dritten darstellen. Und das habe ich hier gemacht.

Ich denke, mehr geht hier nicht. Wenn Du jetzt y und z in die 1. oder 2. Gleichung einsetzt, kommt natürlich 0 raus (muss ja), d.h. die dritte Variable lässt sich nicht mehr berechnen.

LG sulo

28.01.2009, 12:14

chrisrude

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OK das habe ich verstanden. Was ich aber meine das es für dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen gibt.

Und in der Aufgabenstellung steht, geben Sie alle Lösungen an.

Was kann ich da machen?

28.01.2009, 17:35

sulo

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Tja, da bin ich mir jetzt auch unsicher. verwirrt

Vielleicht etwas in der Art: $\begin{eqnarray*} \mathbb L =\{\mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Oder weiß jemand anderes eine schlüssige Antwort?

LG, sulo

28.01.2009, 22:10

chrisrude

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Also bist du auch der Meinung das, diese LGS unendlich viele Lösungen hat, allerdings im Zahlenbereich der Reelen Zahlen?

28.01.2009, 22:15

apfelBaum

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Also ich habe das beigebracht bekommen, dass wir für z eine "neue" unbekannte einsetzen, z.B. "r". Aber das nachdem wir in einer von beiden Gleichungen ein "x", "y" oder "z" eliminiert haben (mit einer Koeffizientenmatrix, ich hoffe das heißt so ..).

D.h.

$\begin{eqnarray*} 3x + 2y - 5z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x - y + 3z = 4 \end{eqnarray*}$

1. Schritt:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 &2 &-5 &| &0\\ 2 &-1 &3 &| &4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

obere Gleichung mit $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ multiplizieren

Dann sieht es so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 &2 &-5 &| &0\\ 0 &-\frac{7}{3} &\frac{19}{3} &| &4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Schritt:
für z setzen wir die Variable "r" ein.
D.h.
$\begin{eqnarray*} -\frac{7}{3}y + \frac{19}{3}z = 4 => y=\frac{12}{7} - \frac{30}{7}r \end{eqnarray*}$
Dann setzen wir in die 1. Gleichung das Y ein und das r für z.

$\begin{eqnarray*} 3x + 2y - 5z = 0 => 3x + 2(\frac{12}{7} - \frac{30}{7}r) - 5r = 0 \end{eqnarray*}$

Dann lösen wir nach x auf.

$\begin{eqnarray*} x = \frac{95}{3}r - \frac{8}{7} \end{eqnarray*}$

Das haben wir so gemacht, da man so dann sofort eine Parametergleichung aufstellen konnte einer geraden ...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = ... \end{eqnarray*}$

29.01.2009, 10:37

sulo

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@chrisrude
Sag mal, das sind aber nicht 2 Ebenengleichungen, oder? Denn wenn ich das als Ebenen berechne, habe ich eine Schnittgerade.
Ich kam drauf, weil apfelBaum da auch etwas von einer Geraden gesagt hat...

Die Gleichung der Schnittgeraden lautet: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8/7 \\ -12/7 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -19 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sollte das die Lösung sein ? verwirrt

Vielleicht weiß jemand eine eindeutige Antwort?

LG sulo

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