Ableitungen mit lg, ln, Winkelfunktionen

28.01.2009, 09:25

sabsirro

Ableitungen mit lg, ln, Winkelfunktionen

Hallo alle zusammen.

Ich bin gerade dabei mich etwas mit dem Ableiten der verschiedensten Funktionen zu beschäftigen und habe festgestellt, dass ich zwar einfach Terme ableiten kann jedoch sobald die oben bereits erwähnten Funktionen mit in s Spiel kommen finde ich wird es verwirrend.

wieso folgt denn bitte aus:

$\begin{eqnarray*} y=lgx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{xln10} \end{eqnarray*}$

Wo kommt die 10 denn her?

Und wie leite ich z.B soetwas hier hab, und was hat die hoch 3 zu bedeuten:

$\begin{eqnarray*} y=tanx+\frac{1}{3}tan^{3}x \end{eqnarray*}$

Muss ich immer wenn ich eine Winkelfunktion habe deren Faktor und die Funktion selbst über die
Kettenregel ableiten? Ich bin etwas verwirtt, ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Gruß Sab

28.01.2009, 10:04

Jacques

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RE: Ableitungen mit lg, ln, Winkelfunktionen
Hallo,

Zitat:

Original von sabsirro

[...] dass ich zwar einfach Terme ableiten kann [...]

Es werden immer Funktionen abgeleitet, nur bei Funktionen ergibt der Ableitungsbegriff überhaupt einen Sinn.

Zitat:

Original von sabsirro

wieso folgt denn bitte aus:

$\begin{eqnarray*} y=lgx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{xln10} \end{eqnarray*}$

Wo kommt die 10 denn her?

Die 10 kommt von der Basis des Logarithmus. lg bezeichnet ja den Logarithmus zur Basis 10.

Allgemein gilt:

$\begin{eqnarray*} (\log_a)^{\prime}(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(a)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von sabsirro

Und wie leite ich z.B soetwas hier hab, und was hat die hoch 3 zu bedeuten:

$\begin{eqnarray*} y=tanx+\frac{1}{3}tan^{3}x \end{eqnarray*}$

Das tan³(x) müsste die Kurzschreibweise für (tan(x))³ sein -- ich habe aber gelesen, dass diese Schreibweise nicht ganz eindeutig ist, weil damit auch eine mehrfache Verkettung gemeint sein könnte.

In diesem Fall steht es aber wohl für (tan(x))³

Für die Ableitung benutzt die die Summen, Potenz-, Faktor- und Kettenregel. Wenn Du nicht alles im Kopf machen möchtest, dann spalte die Funktion Schritt für Schritt auf:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \tan(x) + \frac{1}{3} \tan^3(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f = f_1 + f_2 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = \tan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = \frac{1}{3} \tan^3(x) \end{eqnarray*}$

Nach der Summenregel gilt

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) = {f_1}^{\prime}(x) + {f_2}^{\prime}(x) = 1 + \tan^2(x) + {f_2}^{\prime}(x) \end{eqnarray*}$

Weil die zweite Ableitung noch zu kompliziert ist, spaltest Du f2 auf:

$\begin{eqnarray*} f_2 = g_1 + g_2 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} g_1(x) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2(x) = \tan^3(x) \end{eqnarray*}$

Nach der Faktorregel gilt

$\begin{eqnarray*} {f_2}^{\prime}(x) = \frac{1}{3} \cdot {g_2}^{\prime}(x) \end{eqnarray*}$

Wenn Dir f3'(x) noch zu kompliziert zu berechnen ist, kannst Du auch f3 wieder zerlegen -- u. s. w.

Am Ende sind dann wirklich nur noch elementare Ableitungen zu machen.

31.01.2009, 09:32

sabsirro

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Hi,

erstmal danke für deine Ausführungnen. Ich hab etwas herumprobiert und es glaube ich geschafft.
Ist das Ergebnis richtig? Oder kann man das vll. noch etwas zusammenfassen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{cos^{2}x} \end{eqnarray*}$

Gruß Sab.

31.01.2009, 12:30

mYthos

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Wenn das Ergebnis richtig wäre, könntest du doch die zwei gleichen Summanden noch addieren ..., aber es stimmt ohnehin nicht. Der zweite Summand ist falsch.

Das richtige Gesamtresultat ist $\begin{eqnarray*} \ldots = \frac{1}{\tan^4 x} \end{eqnarray*}$

mY+

01.02.2009, 10:37

sabsirro

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Hi,

ok ich hab s nochmal versucht. Hier mein Rechenweg.

Die Ableitung müsste sein...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos^{2}x}+3*\frac{1}{3}*tan^{2}x*\frac{1}{cos^{2}x} \end{eqnarray*}$

also...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos^{2}x}+\frac{tan^{2}x}{cos^{2}x} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig? Und wenn ja wie vereinfach ich es von hierab.

MfG Sab

01.02.2009, 12:32

mYthos

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Ja, bisher richtig. Da die Nenner der beiden Brüche bereits gleich sind, kannst du die Zähler zusammenziehen, und $\begin{eqnarray*} 1 + \tan^2 x \end{eqnarray*}$ noch entsprechend weiter vereinfachen ... (das Resultat weisst du ja schon).

mY+

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