Abzählbarkeit von N^n und R

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kie Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit von N^n und R
Hallo,
ich habe eben einen Beweis geführt, dass die Menge aller endlichen teilmengen von N abzählbar ist. Dabei sind mir ein paar Fragen aufgekommen die ich gerne mal Teilen möchte.

Zunächst einmal der Beweis. Vielleicht ist da schon ein Denkfehler drin, der zu den merkwürdigen Fragen am schluss führte.

  1. Wir wissen N ist abzählbar
  2. Wir können nach Cantors ersten Diagonalargument zeigen das NxN abzählbar ist
  3. Satz: Das Karthesische Produkt zweier abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar
  4. Daraus Folgt: NxNxNxN... ist wieder abzählbar
  5. Streicht man nun alle Tupel mit mehrfachaufträtenden Elementen und Permutationen anderer Tupel aus der Menge NxNxN... erhät man alle endlichen Teilmengen aus N
  6. Daraus Folgt: Die menge aller endlichen Teilmengen aus N ist abzählbar


Nun meine Fragen:

Wo ist der Unterschied zwischen einer Zahl R und einem Tupel aus NxNxNxN?
  • Die Schreibweise ist anders
  • Eine Zahl aus R wird gebildet aus einer aneinanderreihung von Ziffern 0-9. (Das ist im Endeffekt ja auch nur ein Aspekt der Interpretation der Schreibweise)
  • Die Zahl PI: Sie ist unendlich, aber sind die Tupel in NxNxN... nicht unendlich?


Wieso ist die Menge aller UNendlichen Teilmengen aus N überabzählbar?
  • ich würde sagen der Schlüssel zum beantworten der ersten Frage liegt beim verstehen dieser Tatsache.
  • Kann ich nicht unendlich lange karthesische Produkte aus N bauen?
  • Wäre dann diese Menge abzählbar?


Ich gebe zu, diese Fragen sind alle schonmal geklärt worden. Ich hoffe jemand hat Lust sich trotzdem mit mir darüber zu unterhalten.

Gruß
kie
JustPassingBy Auf diesen Beitrag antworten »

Warte mal, NxNxNxNx... ist nicht abzählbar.
Selbst {0,1}x{0,1}x{0,1}x... ist nicht abzählbar.

Nimm zum Beispiel eine reelle Zahl 0<r<1.
Dann kannst du r als Dezimalzahl (im allgemeinen unendlich) 0,... darstellen.
Diese Dezimalzahl, kannst du allerdings auch als ein Element in {0}x{0,...,9}x{0,...,9}x{0,...,9}x... auffassen.
Deswegen hat {0}x{0,...,9}x{0,...,9}x{0,...,9}x... die gleiche Mächtigkeit wie alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 und ist nicht abzählbar.

Den gleichen Beweis kannst du für NxNx... nehmen und einen analogen Beweis für {0,1}x{0,1}x{0,1}x...
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Mal eine ganz blöde Frage: Wie soll man ein unendliches kartesisches Produkt überhaupt definieren? M. E. gibt es so etwas gar nicht.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Mal eine ganz blöde Frage: Wie soll man ein unendliches kartesisches Produkt überhaupt definieren? M. E. gibt es so etwas gar nicht.

In der iterativen Form nicht, das stimmt.

Man kann aber auch als Spezialfall von



auffassen, dann ist einfach der Folgenraum mit Elementen aus .
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung. Freude
kie Auf diesen Beitrag antworten »

@JustpassingBy: Deshalb meine Frage, weil ich diesen vergleich auch festgestellt habe.

@Arthur Dent: Okay also endliche Karthesische Produkt von N ist jedoch abzählbar. Das ist zu beweisen dadurch das ich das cantonsiche Diagonalverfahren n-1 mal anwende, richtig?

Soweit so klar.

Also wenn ich mir das naiverweise mal vorstelle, ist für mich kein großer Unterschied zwischen einem n was ich immer größer wähle und unendlich? Oder mache ich da einen generellen Denkfehler?

Wann da der Hase im Pfeffer liegt, dann erklärt dies warscheinlicha uch warum die menge aus allen UNendlichen Teilmengen von N überabzählbar ist.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kie
Also wenn ich mir das naiverweise mal vorstelle, ist für mich kein großer Unterschied zwischen einem n was ich immer größer wähle und unendlich? Oder mache ich da einen generellen Denkfehler?

Ja den machst du. An einem einfacheren Beispiel sieht man, dass diese Denkweise so pauschal nicht funktioniert:

Die Menge {0,1,..,n} ist für alle n endlich. Wenn ich also n gegen unendlich gehen lasse, macht das dann auch keinen Unterschied, und die entstehende Menge (also N) ist endlich ... baaahhh. Augenzwinkern
kie Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, das macht sinn das sich da ein wiederspruch ergibt. Mit unendlichkeit umgehen ist nicht leicht. Danke. Ich denke dann verstehe ich auch den Unterschied zwischen den o.g. mengen.

Vielen Dank!

Bis zur nächsten Frage alles Gute.
kie
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