Abzählbarkeit von N^n und R |
28.01.2009, 13:37 | kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abzählbarkeit von N^n und R ich habe eben einen Beweis geführt, dass die Menge aller endlichen teilmengen von N abzählbar ist. Dabei sind mir ein paar Fragen aufgekommen die ich gerne mal Teilen möchte. Zunächst einmal der Beweis. Vielleicht ist da schon ein Denkfehler drin, der zu den merkwürdigen Fragen am schluss führte.
Nun meine Fragen: Wo ist der Unterschied zwischen einer Zahl R und einem Tupel aus NxNxNxN?
Wieso ist die Menge aller UNendlichen Teilmengen aus N überabzählbar?
Ich gebe zu, diese Fragen sind alle schonmal geklärt worden. Ich hoffe jemand hat Lust sich trotzdem mit mir darüber zu unterhalten. Gruß kie |
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28.01.2009, 19:33 | JustPassingBy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warte mal, NxNxNxNx... ist nicht abzählbar. Selbst {0,1}x{0,1}x{0,1}x... ist nicht abzählbar. Nimm zum Beispiel eine reelle Zahl 0<r<1. Dann kannst du r als Dezimalzahl (im allgemeinen unendlich) 0,... darstellen. Diese Dezimalzahl, kannst du allerdings auch als ein Element in {0}x{0,...,9}x{0,...,9}x{0,...,9}x... auffassen. Deswegen hat {0}x{0,...,9}x{0,...,9}x{0,...,9}x... die gleiche Mächtigkeit wie alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 und ist nicht abzählbar. Den gleichen Beweis kannst du für NxNx... nehmen und einen analogen Beweis für {0,1}x{0,1}x{0,1}x... |
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28.01.2009, 19:35 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Mal eine ganz blöde Frage: Wie soll man ein unendliches kartesisches Produkt überhaupt definieren? M. E. gibt es so etwas gar nicht. |
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28.01.2009, 19:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der iterativen Form nicht, das stimmt. Man kann aber auch als Spezialfall von auffassen, dann ist einfach der Folgenraum mit Elementen aus . |
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28.01.2009, 19:47 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Erklärung. |
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29.01.2009, 16:55 | kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@JustpassingBy: Deshalb meine Frage, weil ich diesen vergleich auch festgestellt habe. @Arthur Dent: Okay also endliche Karthesische Produkt von N ist jedoch abzählbar. Das ist zu beweisen dadurch das ich das cantonsiche Diagonalverfahren n-1 mal anwende, richtig? Soweit so klar. Also wenn ich mir das naiverweise mal vorstelle, ist für mich kein großer Unterschied zwischen einem n was ich immer größer wähle und unendlich? Oder mache ich da einen generellen Denkfehler? Wann da der Hase im Pfeffer liegt, dann erklärt dies warscheinlicha uch warum die menge aus allen UNendlichen Teilmengen von N überabzählbar ist. |
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29.01.2009, 17:06 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja den machst du. An einem einfacheren Beispiel sieht man, dass diese Denkweise so pauschal nicht funktioniert: Die Menge {0,1,..,n} ist für alle n endlich. Wenn ich also n gegen unendlich gehen lasse, macht das dann auch keinen Unterschied, und die entstehende Menge (also N) ist endlich ... baaahhh. |
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29.01.2009, 23:01 | kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay danke, das macht sinn das sich da ein wiederspruch ergibt. Mit unendlichkeit umgehen ist nicht leicht. Danke. Ich denke dann verstehe ich auch den Unterschied zwischen den o.g. mengen. Vielen Dank! Bis zur nächsten Frage alles Gute. kie |
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