Fixpunktiteration

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktiteration
Hallo,

nochmal was zur Existenz einer Lösung einer Fixpunktgleichung in einem bestimmten Intervall - dieses mal im Zweidimensionalen:

z.z.:

Die Gleichung mit hat genau eine Lösung in .

Zudem ist noch ein Schritt der Fixpunktiteration durchzuführen mit Startwert x0=y0=0 und der Fehler von mit der Maximumnorm abzuschätzen und noch zu berechnen wie groß der Fehler höchstens ist.

Brauch man für den 1. Teil wieder Banach?
ALs ersten Schritt der FI erhält man ja offensichtlich

Wie funktionert die Fehlerabschätzung ?

Gruß Björn
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktiteration
Banachraum ist gegeben, abgeschlossene Menge auch. Bleibt - wie immer - die Kontrahierende Selbstabbildung zu zeigen.

Die Schwierigkeit ist nun, dass wir nicht so einfach argumentieren können wir im eindimensionalen Fall. Welche Bedingung steht bei dir im Skript für die Konvergenz?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht dass wenn eine Selbstabbildung vorliegt und für alle x und y aus mit L<1 gilt, die FI linear konvergiert.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das war mir auch klar. Der FSB ist ja allgemein formuliert. Wir müssen aber doch an die Konstante kommen. Ich bin der Meinung, da müssen wir den Spaktralradius der Jacobimatrix ins Spiel bringen.

Ein allgemeines Kochrezept für die Kontraktion habe ich hier nicht. Wir könnten zu fußvorgehen und komponenten Weise zeigen, dass wir in [0,1] ² bleiben. Das sollten wir als erstes tun.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »





Man sieht sofort, dass die Funktionwerteauf [0,1]² immer Komponenten haben, die größer gleich 0.5 sind. Komponente 2 wird umso größer, je größer x und y sind. Also erreichen wir dort maximal:



In der ersten Komponente erreichen wir wohl das Maximum für x=0 und y=1.



Somit liegen die Bildvektoren alle in [0,1]², wir haben also eine Selbstabbildung. Nun müssen wir noch die Kontraktion zeigen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »









Damit würde ich die Jacobimatix mit x,y aus [0,1] wie folgt abschätzen:



Somit sollte Banach eigentlich erfüllt sein. Alle Angaben ohne Gewähr.
 
 
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