Abbildung ein Skalarprodukt

28.01.2009, 17:46

Xx AmokPanda xX

Abbildung ein Skalarprodukt

Hallo !!!

Ich war letzte Woche leider krank und konnte deswegen nicht zur Vorlesung gehen. Wir haben da das Skalarprodukt behandelt und haben nun folgende Aufgabe gestellt bekommen, bei der ich irgendwie keine Ahnung habe, wie ich herangehen soll.

Die Aufgabe:

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb R² \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \mathbb R² \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei gegeben durch :

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (a,b) := $\begin{eqnarray*} a_1 b_1 - a_1 b_2 - a_2 b_1 + 5 a_2 b_2 \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R² \end{eqnarray*}$ ist.

b) Berechnen Sie die Länge des Vektors dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzgl. dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

c) Bestimmen Sie den Winkel <) (u,v) zwischen de Vektoren u = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und v = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .
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zu a)
ich muss da die Axiome für ein Skalarprodukt beweisen. Also :
1) Bilinearität
2) B (u,v) = B (v,u)
3) B (v,v) > 0

nur wie wende ich das auf dieses Skalaprodukt an ?
diesmal ist das rechnen mit dem Skalarprodukt ja so festgelegt.

zu b)
da hab ja nur einen Vektor gegeben, aber wie soll ich da die Länge bzgl. B ausrechnen. Normal ist die Länge ja als |v| := $\begin{eqnarray*} \sqrt{<v,v>} \end{eqnarray*}$ definiert.
Und selbst wenn das so gehen würde, wie wende ich dass auf das oben gegebene Skalaprodukt an.
Meine Idee wäre:

|v| = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1*1 - 1*(-2) - (-2)*1 + 5((-2)*(-2)} \end{eqnarray*}$
|v| = $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \end{eqnarray*}$
Damit wäre die Länge bzgl. B |v| = 5, also v = 5.
Stimmt das soweit ?

Bin für jede Hilfe dankbar smile

28.01.2009, 18:04

Xx AmokPanda xX

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zu c)
da hab ich als <) (u,v) = 0 :/

28.01.2009, 18:24

Xx AmokPanda xX

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zu a)
ich hab mal angefangen die Axiome zu überprüfen:

2)
B (a,b) = B (b,a)

$\begin{eqnarray*} a_1 b_1 - a_1 b_2 - a_2 b_1 + 5 a_2 b_2 = b_1 a_1 - b_1 a_2 - b_2 a_1 + 5 b_2 a_2 \end{eqnarray*}$
0=0 -> wahre Aussage, Axiom bestätigt

B (a,a) > 0

$\begin{eqnarray*} a_1 a_1 - a_1 a_2 - a_2 a_1 + 5 a_2 a_2 \end{eqnarray*}$ > 0
$\begin{eqnarray*} a_1 a_1 - 2 a_1 a_2 + 5 a_2 a_2 \end{eqnarray*}$ > 0
das ist ja immer größer 0, nur wie führt man den beweis jetzt weiter und wie geht das mit dem ersten Axiom ???

und stimmen die ergebnisse für b) und c) ???

28.01.2009, 18:39

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Zitat:

Original von Xx AmokPanda xX
$\begin{eqnarray*} a_1 a_1 - 2 a_1 a_2 + 5 a_2 a_2 \end{eqnarray*}$ > 0
das ist ja immer größer 0

Wenn du dir da sicher bist, musst du ja auch den Beweis führen können. Augenzwinkern

Schnell geht es z.B. durch eine passende quadratischen Ergänzung

$\begin{eqnarray*} a_1 a_1 - 2 a_1 a_2 + 5 a_2 a_2 = (a_1-a_2)^2 + 4a_2^2 \end{eqnarray*}$

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Eine allgemeine Anmerkung zu derartigen Operatoren $\begin{eqnarray*} \odot:\; \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ in der Form

$\begin{eqnarray*} a \odot b := a^T \cdot M \cdot b \end{eqnarray*}$ ,

wobei rechts mit $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ das gewöhnliche Matrixprodukt kennzeichnet, und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix ist:

Dieses $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ symmetrisch positiv definit ist.

Das vorliegende Skalarprodukt passt in dieses Schema, und zwar mit der Darstellung

$\begin{eqnarray*} a \odot b := a^T \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 5\end{pmatrix} \cdot b \end{eqnarray*}$ .

28.01.2009, 18:44

Xx AmokPanda xX

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ah danke für die antwort smile

nur so ganz versteh ich das nicht, wir haben manche sachen die du verwendet hast noch nicht eingeführt

gibt es vielleicht noch einen anderen weg dieses axiom zu beweisen.
das war halt nur mein erster gedanke

und wie sieht das mit den anderen ergebnissen, bzw ansätzen aus

28.01.2009, 18:50

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Na dann vergiss doch einfach alles nach dem Trennstrich. Das davor

Zitat:

Original von Arthur Dent
Schnell geht es z.B. durch eine passende quadratischen Ergänzung

$\begin{eqnarray*} a_1 a_1 - 2 a_1 a_2 + 5 a_2 a_2 = (a_1-a_2)^2 + 4a_2^2 \end{eqnarray*}$

aber nicht. Augenzwinkern

28.01.2009, 18:51

Xx AmokPanda xX

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na das mit der quadratischen ergänzung ist klar, weil nach auflösung auf beiden seiten 0 rauskommt

28.01.2009, 18:52

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Also hast du jetzt 3) ? Wo ist dann noch das Problem?

28.01.2009, 18:58

Xx AmokPanda xX

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gut also 2) dürfte ja auch soweit stimmen

nur bei 1) weiß ich nicht wie ich rangehen soll.
In der Vorlesung haben wir das so definiert:

B: V x V -> R bilinear (linear in jedem Element) und weiß ich nicht wie ich das zeigen soll.

einziger gedanke wäre:

$\begin{eqnarray*} \lambda _1 ( a_1 b_1 ) - \lambda _2 ( a_1 b_2) - \lambda _3 ( a_2 b_1) + \lambda _4 (5 a_2 b_2) = 0 \end{eqnarray*}$

und dann halt ob meine lösungen zu b) und c) stimmen

28.01.2009, 23:46

Xx AmokPanda xX

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ok das war quatsch, hab nochmal nachgedacht:

bin jetzt soweit, das ich mir überlegt hab:

1) < $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ a + $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ a , b > = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ < a, b > + $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ < a, b>

und wie schaut es nun mit den ergebnissen für b) und c) aus.
könnte mir jemand helfen smile

29.01.2009, 00:26

Wintersun

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Hallo.

b) würde ich genau so lösen, wie du das im ersten Posting gemacht hast. Also einfach das definierte Skalarprodukt verwenden, ansonsten bleibt ja alles beim Alten ..

c) hier genau das Gleiche, Formel nachschlagen und ausrechnen ...

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