kleinste Kreisfläche um Dreieck

28.01.2009, 18:34	DKR82	Auf diesen Beitrag antworten »
kleinste Kreisfläche um Dreieck Hallo...habe folgende Aufgabe und habe leider momentan ein Brett vor dem Kopf! Vielleicht hat ja jemand n Tipp wie ich vorgehen soll?! Also die Aufgabe: Welches ist die kleinste Kreisfläche, die das Dreieck A(5,7) B(-1,-1) C(6,0) ganz umschließt? Mein bisheriger Ansatz: $\begin{eqnarray} AC = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} AB = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus die Geradengleichungen g1: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ g2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit t=0.5 erhalte ich dann die Mittelpunkte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5.5 \\ 3.5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Strecken AC und AB! Jetzt weiß ich nur nicht wie ich an die Gerade der Mittelsenkrechten komme, deren Schnittpunkt ja dann der Umkreismittelpunkt wäre!? Dann könnte ich auch den Abstand von diesem Umkreismittelpunkt zu einem der Dreieckseckpunkte berechnen und hätte damit auch den Radius?!? Oder bin ich komplett auf dem Holzweg?? Bin für jeden Tipp dankbar... MFG Danny
28.01.2009, 18:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das vorliegende Dreieck ist rechtwinklig. Man kann sich leicht überlegen, dass im Fall recht- oder stumpfwinkliger Dreiecke der kleinste umfassende Kreis derjenige ist, der die größte Dreiecksseite als Durchmesser hat. P.S.: Im Fall spitzwinkliger Dreiecke ist es dagegen einfach der Umkreis.
28.01.2009, 18:50	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kleinste Kreisfläche um Dreieck die idee ausführung wieso machst du dir die arbeit schwerer, indem du ins all ausweichst $\begin{eqnarray} M_{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) \end{eqnarray}$ und aus $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB}=(-6,-8)^T\to \vec{n}=(-4,3)^T \end{eqnarray}$ damit kannst du die mittelsenkrechte $\begin{eqnarray} m_c \end{eqnarray}$ basteln
28.01.2009, 18:53	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kleinste Kreisfläche um Dreieck dann geht´s natürlich noch einfacher
28.01.2009, 19:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, wenn's etwas brutal rüberkam, aber möchte ja nicht, dass man sich totrechnet, wenn's gar nicht sein muss. Daher eben gleich die ungeschminkten Fakten.
28.01.2009, 19:18	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hätte ja auch erst (nach)denken können (bin vermutlich noch im winterschlaf...)
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28.01.2009, 22:38	DKR82	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die schnellen Antworten... War die ganze Zeit am grübeln, wieso bei Riwe für AB=(-6,-8) rauskommt...bis mir aufgefallen ist, dass ich ein Minus-Zeichen bei Punkt B unterschlagen hatte Ja, das der Mittelpunkt mit $\begin{eqnarray} M_{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) \end{eqnarray}$ einfacher zu kriegen ist, leuchtet ein Dann hätte ich für die Mittelsenkrechten $\begin{eqnarray} m_c = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_b = \begin{pmatrix} 5.5 \\ 3.5 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -3.5 \\ -0.5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und als Schnittpunkt nach Lösung des GLS dann die Mitte der größten Dreiecksseite, also (2,3)! PS: Danke an Arthur, dass ich nun weiß, dass ich mir in diesem Fall (rechtwinkliges Dreieck) den "Umweg ins All" auch hätte ersparen können... Dann nur noch den Abstand von (2,3) zu einem Punkt...z.B. A (5,7) = (3,4)...das wäre also $\begin{eqnarray} \sqrt{25} \end{eqnarray}$ Die Lösung wäre dann: $\begin{eqnarray} (x-2)^2+(x-3)^2=25 \end{eqnarray}$ Vielen Dank nochmal für eure Tipps Bis zum nächsten Mal MFG Danny

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