Verifizieren der Indentität einer hermetischen Matrix

28.01.2009, 19:16	AdiMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Verifizieren der Indentität einer hermetischen Matrix Guten Abend zusammen. ich sitze hier vor einer Aufgabe die ich schon 5mal gerechnet habe, aber ich bekomme sie leider nicht gelöst weil ich irgendwas übersehe... Ich habe hier meine Rechnung als Bild, wäre echt cool wenn mir hier jemand meinen Fehler zeigen könnte... Als Ergebnis sollte 1-16i = 1-16i rauskommen wünsche euch allen noch einen schönen abend
28.01.2009, 19:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verifizieren der Indentität einer hermetischen Matrix Herrlich, also haben wir die Tipparbeit. $\begin{eqnarray} \langle x,Ay\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 4i& 3+2i \\ 1-i & -5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also A ist nicht hermitisch... wir können aber die komplex konjugiert transponierte bilden $\begin{eqnarray} A^H=\begin{pmatrix} -4i&1+i \\3-2i& -5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da sollte auch dein Fehler herkommen. Wie begründest du denn, dass die beiden Skalarprodukte gleich sind?...
29.01.2009, 09:40	AdiMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mich jetzt grad nochmal hingesetzt mit klarem kopf... Habe auch dein geschriebenes berücksichtigt.... Aber irgednwas stimmt immer noch nicht, ich muss im ganzen einen Systemfehler drin haben.... habe dir meine Rechnung wieder als Bild dran gehängt weil tippen dauert länger
29.01.2009, 13:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
So, miene Rückfrage oben war quatsch und dennoch liegt darin der Schlüssel. Machen wir uns das mal OHNE Zahlen klar. $\begin{eqnarray} \langle x,Ay \rangle = x^HAy = (A^Hx)^Hx = \langle A^Hx,y \rangle \end{eqnarray}$ Damit haben wir auch die Fehlerquelle. Bitte also nochmal nachrechnen und dann wieder einstellen. Von mir aus auch als Bild. Aber das wir einmal die richtige Rechnung haben.
31.01.2009, 22:07	AdiMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mein Scanner zickt grad, muss wohl alles hinschreiben... Bin von deiner Formel ausgegangen. gegeben sind: $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}; A= \begin{pmatrix} 4i & 1-i\\ 3+2i & -5 \end{pmatrix}; y= \begin{pmatrix} 2i \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit hoch h: $\begin{eqnarray} x^{h}=\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}; A^{h}= \begin{pmatrix} -4i & 3-2i\\ 1+i & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich Ay und A^h x berechnet: $\begin{eqnarray} Ay= \begin{pmatrix} -5 & -3i\\ -19 & +6i \end{pmatrix} ; A^{h}= \begin{pmatrix} 2 & -i \\ 1 & -4i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich das ganze so mit der Formel berechnet: $\begin{eqnarray} < x^{h}\mid Ay> = < (A^{h}x)^{h}\mid x> \end{eqnarray}$ Aber irgendwie kommt dann aber letzt endlich bei mir $\begin{eqnarray} 1+16i=0 \end{eqnarray}$ raus... jetzt weiß ich net wo mein fehler liegt... habe ich mich verrechnet? ich sehe den fehler nicht... ich habe auch $\begin{eqnarray} x^{h} Ay = (A^{h}x)^{h} x \end{eqnarray}$ so gerechnet, aber auch so kam nicht das erhoffte raus... ich schau das ich den scanner wieder hingerichtet bekomm damit ich dir die rechnung schicken kann...
31.01.2009, 22:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie tragisch. Ich muss hier ja auch alles hinschreiben. $\begin{eqnarray} \langle x,Ay \rangle = x^HAy = (A^Hx)^Hx = \langle A^Hx,y \rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}; A= \begin{pmatrix} 4i & 1-i\\ 3+2i & -5 \end{pmatrix}; y= \begin{pmatrix} 2i \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1,-i)\begin{pmatrix} 4i & 1-i\\ 3+2i & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2i \\ 3\end{pmatrix} =(1,-i) \begin{pmatrix} -5-3i \\ -19+6i\end{pmatrix} = 1+16i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Bigl( \begin{pmatrix} -4i &3-2i \\ 1+i & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ i\end{pmatrix} \Bigr)^H \begin{pmatrix} 2i \\ 3\end{pmatrix} =\Bigl(\begin{pmatrix} 2-i \\ 1-4i\end{pmatrix} \Bigr)^H \begin{pmatrix} 2i \\ 3\end{pmatrix} = (2+i,1+4i) \begin{pmatrix} 2i \\ 3\end{pmatrix} = 1+16i \end{eqnarray}$
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