der 'Markt' als Vektorraum

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28.01.2009, 19:25	ErNäMa	Auf diesen Beitrag antworten »
der 'Markt' als Vektorraum Hallo, ich habe folgenden Aufgabe gestellt bekommen und, leider nicht die geringste Ahnung wie ich da rangehen soll? Auf dem Markt bekommt man für 2 Kamele und 3 Schafe 500 kg Tomaten und 700 kg Äpfel. Für 3 Kamele und 1 Schaf bekomme ich 400 kg Tomaten und 350 kg Äpfel. Wieviele Kamele und Schafe brauche ich, wenn ich genau 300 kg Tomaten und 60 kg Äpfel kaufen will. Analysieren sie das Problem mit Hilfe von Vektorräumen und linearen Abbildungen.Definieren Sie geignete Modell-Vektorräume. Führen Sie Basen ein. Diskutieren sie die Grenzen des mathematischen Modells. Wo bildet es die Wirklichkeit nur ungenau ab ? Kann mir vielleicht jemand helfen udn erklären, wie ich mir diese Modell-Vektorräume erzeuge? Und wie ich dann damit etwas berechnen soll. Danke!
28.01.2009, 19:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: der 'Markt' als Vektorraum Kamele und Schafe rechne ich am Stück, Tomaten und Äpfel in Kilogramm $\begin{eqnarray} 2k + 3 s = 500t+700a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3k + 1 s = 400t+350a \end{eqnarray}$ Wie soll man sich nun ein Modell basteln? naja, es ist nicht wirklich eine Beziehung zwischen den Größen noch angegeben. 4 Unbekannte und 2 Gleichungen. Da wird es imho mit der Eindeutigkeit schwer. $\begin{eqnarray} 2k + 3 s -500t-700a = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3k + 1 s -400t-350a = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2&3&-500&-700 \\ 3&1&-400&-350 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k\\s\\t\\a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da bekommt man eine parameterabhängige Lösung raus. Andere Ideen sind willkommen.
28.01.2009, 20:13	ErNäMa	Auf diesen Beitrag antworten »
An soetwas hatte ich auch schon gedacht. Aber kann ich einfach lineare Gleichungen aufstellen? Muss ich nicht vorher Bedingen (Abgeschlossen etc. ) angeben?
28.01.2009, 20:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
? Verstehe deine Frage nicht. Warum sollte ich das nicht erstmal so aufschreiben dürfen?
28.01.2009, 20:21	ErNäMa	Auf diesen Beitrag antworten »
weil ich doch erstmal geeignete Vektorräume definieren sollte... Ich bin leider mit der Aufgabe und Mathe (im allgemeinen) etwas überfordert, deswegen, verstehe ich nicht so ganz was ich überhaupt machen soll...
28.01.2009, 21:10	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt einen Vektorraum Früchte (F), mit der Basis $\begin{eqnarray} \{{\rm Tomate},{\rm Apfel}\} \end{eqnarray}$ und einen Vektorraum *Vieh ( $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ )* , mit der Basis $\begin{eqnarray} \{{\rm Kamel},{\rm Schaf}\} \end{eqnarray}$ .
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28.01.2009, 22:33	ErNäMa	Auf diesen Beitrag antworten »
so einfach kann ich das machen? Gibt es denn auch eine bessere Lösung, als die zwei Gleichungen mit den vier unbekannten?
28.01.2009, 22:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Reksilat hat doch ein anderes Modell gewählt....So wie ich das sehe, bildet er doch zwischen zwei 2D Räumen ab....Er hat dir halt noch nicht verraten, wie. Aber du kennst ja zwei Bilder.... Also könntest du dir da auch was basteln...
29.01.2009, 17:23	ErNäMa	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht stelle ich mich etwas blöd ab, aber wie soll sowas denn gehen? Ich habe doch keine Vektoren? Ich kann zwar sagen, wie meine Vektorräume heißen (Früchte und Vieh), aber wie kann ich denn darin Operationen und sowas definieren. Und zur Abbildung: muss ich mir da sowas wie eine Tranformationsmatrix basteln? Sowas wie: xKamele bilden auf yTomaten ab?
29.01.2009, 17:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, definieren bedeutet doch genau dies. Und dir ist doch Vorgegeben, dass du VR nehmen sollst. Dmait unterstellst du eben lineare Zusammenhänge zwischen den Größen. Und das Modell von Reksilat ist doch gut. Wir ordnen einem Viehvektor einen Fruchtvektor zu edit: ich sehe gerade, der Marktschreier ist da. Und tschüss.
29.01.2009, 17:48	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist denn eigentlich die euklidische Ebene, also der $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ , ein Vektorraum? Nun ich erkläre einfach, was es bedeutet, wenn ich zwei Ortsvektoren addiere und was passiert, wenn ich einen Ortsvektor mit eine reellen Zahl x multipliziere (um das x-fache verlängere). Das kann man nun analog auf Tiere umformulieren. Die Menge $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ besteht aus allen möglichen Größen, die eine Herde haben kann, also 8 Kamele, 2 Schafe oder 0 Kamele, 9 Schafe usw. Wenn ich zwei solche Herden zusammenführe, ergibt sich wieder eine Herde aus $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ , denn (8+0) Kamele, (2+9) Schafe ist wieder eine Herde. (Das ist die Addition zweier Vektoren). Genauso kann ich eine Herde auch mit einer Zahl multiplizieren (klonen), denn x8 Kamele, x2 Schafe ist auch eine Herdengröße. (Skalarmultiplikation) Wenn man noch negative und zerteilte Tiere zu akzeptieren bereit ist, erfüllt $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ genau die Vektorraumaxiome und wird zum $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorraum. Wenn man die Herdengröße von x Kamelen und y Schafen als $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ schreibt, funktioniert das auch nicht anders als der $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ und die möglichen Basen sehen auch nicht anders aus. Analog macht man das mit Früchten. Die lineare Abbildung ist dann einfach der Umrechnungskurs auf dem Basar. Marktschreier ab.
30.01.2009, 19:06	ErNäMa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke jetzt habe ich es verstanden Kann ich sagen, dass die Grenze des Modells ist, dass die Skalere Multiplikation nur mit ganzen, positiven Zahlen funktioniert? Weil sowas wie negative Kamele ja wirklich nicht gehen??? und ist es dann trotzdem noch ein Vektorraum, weil die Skalare Multiplikation nicht für alle Zahlen $\begin{eqnarray} \in [latex]\in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt?
02.02.2009, 14:32	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Marktschreier wieder da, wenn auch recht spät. Mit den Grenzen des Models liegst Du richtig, da man ja im allgemeinen mit ganzzahligen, nichtnegativen Mengen von Vieh und Früchten handelt. Ein Vektorraum ist das dann eben nicht mehr, da zu diesem eben ein Körper gehört und in diesem ist zu jeder Zahl auch deren multiplikativ Inverses drin. Wenn es also 5 Kamele gibt, so muss es auch 1/5 Kamele geben, will man das nicht zulassen entstehen halt Probleme mit dem Modell, da zum Beispiel der Gauß nicht mehr ohne weiteres anwendbar ist. Um das zu vermeiden, hat man ja eigentlich das Geld erfunden, denn ein 3/8 Schaf ist unpraktischer zu handhaben, als der entsprechende Gegenwert in Münzen und Scheinen. Dass geeignete Modelle für die hier angesprochene Problematik aber durchaus benötigt werden, zeigt sich gerade in Argentinien, wo das Kleingeld knapp wird. Statt Wechselgeld gibt es hier Bonbons und Kaugummis und der Fleischer sollte das Steak schon möglichst exakt abschätzen, damit auch eine runde Summe herauskommt. Wenn ein Fahrschein 60 Centavos kostet, man aber nur volle Pesoscheine hat, ist man gezwungen gleich fünf Tickets auf Vorrat zu erstehen, einen Aufpreis von fast 70% zu zahlen oder sich für den Mittelweg zu entscheiden und drei Tickets für zwei Peso bei etwas geringerem Verlust zu holen. In einem Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ lassen sich solche Probleme eben nicht so leicht berücksichtigen. Hier ein Link dazu: Argentinien - wo ist das Kleingeld geblieben?

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