Abgeschlossenheit, Kompaktheit

28.01.2009, 21:01	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit, Kompaktheit Hallo! Bin auf etwas gestoßen, was mir Bauchgrimmen verursacht: Lemma: In einem Hausdorffraum sind kompakte Mengen abgeschlossen. Hä? Angenommen ich habe eine offene Menge, die ich leicht durch eine endliche Teilüberdeckung von offenen Mengen darstellen kann. Sie ist also kompakt. Sie wäre damit abgeschlossen. Mir ist natürlich klar, dass Mengen offen und abgeschlossen sein können, aber sind nach dieser Konstruktion nicht alle offenen Mengen abgeschlossen? EDIT: Ach ja: Widerspricht das nicht zusätzlich im reellen auch noch Heine-Borel?
28.01.2009, 21:18	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakte Mengen sind nicht Mengen, die man durch eine endliche Überdeckung offener Mengen darstellen kann. Kompakte Mengen sind Mengen, bei denen jede Überdeckung offener Mengen eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Ich kann z.B. das Interfall (0,1) reeller Zahlen durch folgende offene Mengen überdecken: (1/n,1) für alle natürlichen Zahlen n. Dazu findet sich allerdings keine endliche Teilüberdeckung. Edit: Hier mal ein Beweis: Satz: Kompakte Mengen einer Hausdorff Menge sind abgeschlossen. Beweis: Sei X abgeschlossen, C aus X kompakt. zu zeigen: X\C ist offen. Sei hierzu p aus X\C. X ist hausdorff, also existiert für alle x aus C disjunkte offene Umgebungen U von x und V von p. Weil nun alle U zusammen eine offene Überdeckung von C bilden, existiert eine endliche Teilüberdeckung U1,...,Un. Wenn wir uns jetzt den Durschnitt der V1,...,Vn betrachen, sehen wir erstens, dass der Schnitt eine offene Umgebung von p ist, und zweitens, dass der Schnitt disjunkt zu der Vereinigung der U1,...,Un ist. Insbesondere ist der Schnitt disjunkt zu C. Also haben wir eine offene Umgebung von p gefunden, welche in X\C liegt. Weil dies für alle p aus X\C gilt, ist diese Menge offen und dadurch C abgeschlossen. q.e.d. Nun ja, irgendwann werde ich das Latex schreiben lernen...
28.01.2009, 21:27	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm Richtig. Oje, wie kann man den wissen, ob man wirklich zu allen offenen Überdeckungen eine endliche Teilüberdeckung findet? Also der Beweis, dass eine Menge nicht kompakt ist, ist ja meist relativ leicht, wie dein Beispiel zeigt (vorausgesetzt, man kommt auf dieses Beispiel). Aber wie kann man von vorneherein sagen, dass man zu jeder Menge eine endliche Teilüberdeckung findet?
28.01.2009, 21:35	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mal ein Beweis zu den Satz angehängt. Wie man beweisen kann, dass eine Menge kompakt ist, dazu gibt es kein allgemeines Verfahren, weil meistens die spezielle Geometrie der Menge ausnutzt. Es gibt allerdings einige Sätze, die Ansätze liefern, z.B.: Satz: Sei X kompakte, f:X->Y stetig. Dann ist f(X) kompakt. Dann könntest du vielleicht versuchen, eine stetige surjektive Abbildung von einer abgeschlossenen Menge aus R oder R² oder R³... in die Menge zu konstruieren.
28.01.2009, 21:39	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind die $\begin{eqnarray} (V_j)_{j=1\cdots n} \end{eqnarray}$ ? Überdeckung von X\C?
28.01.2009, 21:42	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die U und die V sind die disjunkte Umgebungen von einem Punkt x in C und einem festen Punkt p aus X\C.
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28.01.2009, 21:48	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, hab ich verstanden. Vielen Dank, das ist ja doch keine Zauberei, wie ich zuerst dachte . Duedi

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