Summer zweier poissonverteilten Zufallsgrößen

29.01.2009, 13:56	Wusel	Auf diesen Beitrag antworten »
Summer zweier poissonverteilten Zufallsgrößen ... und wöchentlich grüßt das Wuselchen Hab mal wieder eine Aufgabe bekommen bei der ich meiner der Lösung schon recht nahe zu sein, aber irgendwie passt das am Ende noch nicht. Aufgabe: $\begin{eqnarray} && \text{ Man sagt, die Zufallsvariable X sei Poisson(} \lambda \text{) verteilt, falls P(X=k)=}e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}} {k!} \text{ für k=0,1,2,... gilt.Gegeben zwei unabhängige} \\ && \text{ Zufallsvariablen X} \sim \text{Poisson(} \lambda \text{) und Y} \sim \text{Poisson(} \mu \text{), zeigen sie, dass X+Y} \sim \text{Poisson(} \lambda + \mu \text{) gilt.} \end{eqnarray}$ Wir haben in der Vorlesung eine Formel für die Verteilung von einer Summe zweier Zufallsvariablen gehabt und er hat es anhand zweier binomialverteilter Zufallsvariablen mal vorgemacht. Das habe ich dann wie folgt versucht anzusetzen: $\begin{eqnarray} && S=X+Y \\ && P(S=k)=P(X+Y=k) \\ && \quad \quad \quad \quad \quad =P(S=k \vert Y=l) \cdot P(Y=l) \\ && \quad \quad \quad \quad \quad =P(X=k-l) \cdot P(Y=l) \\ && \quad \quad \quad \quad \quad =e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-l}}{(k-l)!} \cdot e^{-\mu}\frac{\mu^{l}}{l!} \\ && \quad \quad \quad \quad \quad =e^{-(\lambda + \mu)} \frac{\lambda^{k-l} \mu^{l}}{(k-l)! \cdot l!} \\ && \quad \quad \quad \quad \quad = e^{-(\lambda + \mu)} \frac{\lambda^{k-l} \mu^{l}}{k!} \end{eqnarray}$ Wenn ich mich nicht irre müsste ich nun noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lambda^{k-l} \cdot \mu^{l} =(\lambda + \mu )^{k} \end{eqnarray}$ gilt und da hab ich ehrlich gesagt so meine Zweifel dran. Ich habe das mal mit Zahlen durchgerechnet und das war wohl nicht gleich. Folglich habe ich also irgendwo einen Denkfehler .... aber wo?! Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar. Grüße das Wuselchen
29.01.2009, 13:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ab der zweiten Zeile deiner Gleichungskette fehlt ein Summenzeichen, und zwar $\begin{eqnarray} \sum_{l=0}^k \end{eqnarray}$ ...
29.01.2009, 18:29	Wusel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm nagut dann jetzt nochmal mit Summe: $\begin{eqnarray} && S=X+Y \\ && P(S=k)=P(X+Y=k) \\ && \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{l=0}^{k} P(S=k \vert Y=l) \cdot P(Y=l) \\ && \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{l=0}^{k} P(X=k-l) \cdot P(Y=l) \\ && \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{l=0}^{k} e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{k-l}}{(k-l)!} \cdot e^{-\mu} \cdot \frac{\mu^{l}}{l!} \\ && \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{l=0}^{k} e^{-(\lambda + \mu)} \cdot \frac{\lambda^{k-l} \cdot \mu^{l}}{(k-l)! \cdot l!} \\ && \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{l=0}^{k} e^{-(\lambda + \mu)} \cdot \frac{ k! \cdot \lambda^{k-l} \cdot \mu^{l}}{k! \cdot (k-l)! \cdot l!} \\ && \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{l=0}^{k} e^{-(\lambda + \mu)} \cdot ~\binom k l \cdot \frac{\lambda^{k-l} \cdot \mu^{l}}{k!} \\ && \quad \quad \quad \quad \quad = \frac{1}{k!} \cdot e^{-(\lambda + \mu)} \cdot \sum_{l=0}^{k} ~\binom k l \cdot \lambda^{k-l} \cdot \mu^{l} \\ && \quad \quad \quad \quad \quad =\frac{( \lambda + \mu )^{k}}{k!} \cdot e^{-(\lambda + \mu)} \end{eqnarray}$ Danke für den nützlichen Hinweis, ich denke so sieht das fein aus
29.01.2009, 20:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so geht's. In einem ordentlichen Aufschrieb sollte man beim Übergang von der vorletzten zur letzten Zeile natürlich noch ein Stichwort fallen lassen.

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