Stetigkeit und Abschluss von Mengen

29.01.2009, 18:40

Stetigkeit und Abschluss von Mengen

Ich habe ein kleines Problem, das ich leider noch nicht knacken konnte.

Zu zeigen ist die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist stetig
b) $\begin{eqnarray*} \forall~ A \subset \mathbb{R}~:~f(\overline{A})\subset \overline{f(A)} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe das Problem folgendermaßen:
Die Abbildung ist genau dann stetig, wenn die Bilder aller x aus dem Abschluss der Teilmenge A der reellen Zahlen eine Teilmenge des Abschlusses des Bildes der Teilmenge ist.
Bildlich stelle ich mir das so vor, dass eben bei Stetigkeit der Funktionswert in einem Punkt x0 aus dem Abschluss von A bedeuted, dass das Bild von x0 entweder im Intervall oder so nah am Intervall/ an der Teilmenge A liegt, dass es eben zum Abschluss gehört.

Nun mein Beweisansatz:
"=>"
Nach Voraussetzung a) gilt aufgrund des Übertragungsprinzips:
Sei $\begin{eqnarray*} x_0\in \overline{A} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} A\subset D=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann gilt: für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)\in~A^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \to x_0,~n \to \infty \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty}\, f(x_n)=f(x_0) \end{eqnarray*}$
Die Folge $\begin{eqnarray*} (f(x_n)) \end{eqnarray*}$ ist also konvergent mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ ein Berührpunkt der Folge.
Ferner gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(x_n)\in f(A) \end{eqnarray*}$
Nach Definition des Abschluss einer Menge (Menge aller Berührpunkte) gilt danach:
$\begin{eqnarray*} f(x_0) \in \overline{f(A)}~~\forall\, x_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~ f(\overline{A})\subset \overline{f(A)} \end{eqnarray*}$ .

Ist der Ansatz so in Ordnung, oder doch ziemlich daneben?

"<="
Nach Voraussetzung gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall~ A \subset \mathbb{R}~:~f(\overline{A})\subset \overline{f(a)} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ ist ein Berührpunkt von $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_0 \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt (Definition Berührpunkt): $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon >0 ~~ \exists\, n_0 \end{eqnarray*}$ sodass gilt: $\begin{eqnarray*} |f(x_0)-f(x_n)<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für MINDESTENS eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)\in A^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ .

Und da hänge ich jetzt. Ich glaube, dass schon mein Ansatz nicht sonderlich gut ist. Auf dem Rückweg wird das Argumentieren mit Folgen vermutlich nicht so leicht - ich muss schließlich zeigen, dass das obige für ALLE Folgen gilt.
Ein Ansatz wäre ein Widerspruchsbeweis, aber den bekomme ich bisher noch nicht hin.
Vielleicht wäre es sinnvoller, mit dem Epsilon-Delta-Kriterium zu argumentieren - aber da fehlt mir irgendwie der Ansatz für das Auffinden eines Deltas.

Gruß
MI

29.01.2009, 20:39

JustPassingBy

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Was für Definitionen von Stetigkeit hast du denn alles zur Verfügung?
Da müsste es etwas mit Urbild von offenen Mengen geben.
Was folgt dann für Urbild von abgeschlossenen Mengen?

Damit lässt sich ein kurzer und eleganter Widerspruchsbeweis führen.

29.01.2009, 21:45

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Zitat:

Original von JustPassingBy
Was für Definitionen von Stetigkeit hast du denn alles zur Verfügung?
Da müsste es etwas mit Urbild von offenen Mengen geben.

Die einzige Definition von Stetigkeit, die wir haben, ist das Epsilon-Delta-Kriterium (eigentlich als Konvergenz in einem Punkt). Das haben wir auch noch mit Hilfe von Umgebungen geschrieben, mehr aber nicht.
Ferner haben wir daraus das Übertragungsprinzip (auf Folgen - benutze ich beim Hinweg) hergeleitet und noch einen Satz über Beschränktheit bewiesen. Neben Rechenregeln und Kompositionsregel steht uns dann nur noch das Cauchy-Kriterium zur Verfügung.
Und da sehe ich nichts mit Urbild - im Grunde fehlt überhaupt der Bezug zur Vorlesung.

Gruß
MI

29.01.2009, 22:52

Mathespezialschüler

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Die eine Richtung hast vollkommen richtig erledigt, nur an einer Stelle sollte die Kausalität etwas verbessert werden:

Zitat:

Original von MI
Nach Voraussetzung a) gilt aufgrund des Übertragungsprinzips:
Sei $\begin{eqnarray*} x_0\in \overline{A} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} A\subset D=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann gilt: für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)\in~A^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \to x_0,~n \to \infty \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty}\, f(x_n)=f(x_0) \end{eqnarray*}$

Das gilt zwar wirklich für alle Folgen, aber wer sagt, dass eine solche Folge überhaupt existiert? Du solltest folgendermaßen argumentieren: Wegen $\begin{eqnarray*} x_0\in\overline A \end{eqnarray*}$ existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)\in A^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Und danach weiter, wie du es bereits geschrieben hast.

29.01.2009, 22:58

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Okay, vielen Dank.
Das mit dem "für alle Folgen" habe ich quasi direkt aus dem Lemma abgeschrieben, was ich da zitiert habe (Übertragungsprinzip heißt das bei uns). Aber natürlich ist nur die Existenz einer Folge relevant.

Hättest du denn noch einen Tipp, wie man die Rückrichtung ohne den Tipp von JustPassingBy lösen kann, der mir wie gesagt leider nichts sagt?

Gruß
MI

29.01.2009, 23:23

Mathespezialschüler

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Angenommen, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre nicht stetig. Dann gäbe es einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und ein festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon_0>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} |x_n-x_0|<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x_n)-f(x_0)|\geq\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ . Betrachte nun die Menge $\begin{eqnarray*} A:=\{x_n\ |\ n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ (ich gehe einmal davon aus, dass die Null nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gehört; falls das bei euch doch der Fall ist, solltest du natürlich andere Bezeichnungen nutzen) und wende auf sie das an, was du als Voraussetzung gegeben hast.

29.01.2009, 23:47

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Vielen Dank!
Das würde ich dann so angehen:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Angenommen, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre nicht stetig. Dann gäbe es einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und ein festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon_0>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} |x_n-x_0|<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x_n)-f(x_0)|\geq\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ . Betrachte nun die Menge $\begin{eqnarray*} A:=\{x_n\ |\ n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$

Dann gilt: Da $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, konvergiert $\begin{eqnarray*} x_n \to x_0 \end{eqnarray*}$ Damit ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Berührpunkt der Folge $\begin{eqnarray*} \{x_n\}\in A^\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und damit gilt $\begin{eqnarray*} x_0\in \overline{A} \end{eqnarray*}$
Ferner gilt $\begin{eqnarray*} |f(x_n)-f(x_0)|\geq\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ - womit $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ per Definitionem kein Berührpunkt der Folge $\begin{eqnarray*} \{f(x_n)\}_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist. Da aber der Abschluss einer Menge definiert ist als die Menge der Berührpunkte, gilt damit: $\begin{eqnarray*} f(x_0)\notin \overline{f(A)} \end{eqnarray*}$ - entgegen der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} f(\overline{A})\subset \overline{f(A)} \end{eqnarray*}$ .

Gruß
MI

29.01.2009, 23:52

Mathespezialschüler

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Perfekt, genau so funktioniert es! Freude

30.01.2009, 00:03

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Meine Idee mit dem Widerspruch war also schon einmal eine gute Sache.

Dann nochmal vielen Dank für den ausführlichen Tipp (auch an JustPassingBy - auch wenn mein Wissen dahingehend noch nicht ausreichte)!

Gruß und gute Nacht Schläfer

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