Vektoraufgabe

29.01.2009, 19:47

rosario

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Vektoraufgabe

Hallo ich habe keine möglichkeit meine Aufgaben zu überprüfen kann mir wer sagen ob ich die richtigen ansätze hab? richtige formeln und so

Eine Ebene E1 soll durch die folgenden Angangaben festgelegt werden

Die Ebene soll die Gerade r= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Ebene soll senkrecht auf der Gerade g2 r= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \mu \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Prüfen ob die Angaben widerspruchsfrei sind.

Ich habe die Richtungsvektoren miteinander multipliziert und es kommt 0 raus. Das hei0ßt sie sind Orthogonal und somit senkrecht.

Bestimmen sie die Gleichung dieser Ebene

ich hab das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren gebildet $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann ist die ebene

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ *( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und in koordinatenschreibweise 4x+5y-6z=27

ist das soweit richtig ?

29.01.2009, 19:53

Duedi

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Das Kreuzprodukt ist nicht korrekt.

29.01.2009, 19:58

rosario

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Dankeschön.

ich hab mich verkugt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das neue kreuzprodukt

und wenn ich mit dem neuen kreuzprodukt weiterrechne wie ich es gemacht hab kommt da das richtige raus ?

29.01.2009, 19:59

Duedi

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Du hast noch einen Vorzeichenfehler bei der 27 gehabt, rechne mal die Koordinatenform mit dem neuen Normalenvektor aus.

29.01.2009, 20:10

rosario

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-2\\ y+1 \\ z+4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4*(x-2)+5(y+1)-2(z+4)=0

=4x+5y-2z=11

so besser ? Big Laugh

Big Laugh

29.01.2009, 21:11

sulo

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Naja, Deine Ebene 4x+5y-2z=11 läuft parallel zu Deiner Geraden g2 r= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \mu \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sollte aber eigtl. senkrecht zu ihr stehen, oder?

Die Gerade g1: r= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt in der Ebene.

LG sulo

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29.01.2009, 21:29

rosario

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mh jetzt bin ich total verwirrt wie sieht man den das eine Gerade Parallel ist zu einer ebene wenn diese in Koordinatenform gegeben ist? ich weis nur das die richtungsvektoren ein vielfaches voneinander sein müssen um das ablesen zu können.

Wie geh ich den jetzt vor wenn ich die gerade 2 senkrecht zur ebene haben will ? Irgendwie hab ich das gefühl das es unsinnig ist wieder das kreuzprodukt der ebene mit dem richtungsvektor der 2 gerade zu bilden das hatte ich ja schon gemacht

29.01.2009, 21:48

sulo

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Zitat:

Sieht man den das eine Gerade Parallel ist zu einer ebene wenn diese in Koordinatenform gegeben ist?

Ich würde mir zu diesem Zweck die Ebenengleichung in Parameterform aufstellen.

Zitat:

Wie geh ich den jetzt vor wenn ich die gerade 2 senkrecht zur ebene haben will ? Irgendwie hab ich das gefühl das es unsinnig ist wieder das kreuzprodukt der ebene mit dem richtungsvektor der 2 gerade zu bilden das hatte ich ja schon gemacht

Ich glaube, es macht wenig Sinn, das Kreuzprodukt des Richtungsvektors der Gerade und des Normalenvektors der Ebene zu bilden, denn Dein Ergebnis steht ja dann senkrecht auf beiden Vektoren.
Ich denke, es ist eher so, dass der Richtungsvektor der Geraden, die senkrecht auf der Ebene stehen soll, auch der Normalenvektor dieser Ebene sein muss, also identisch.

Also, ich würde die Aufgabe so lösen, dass die Ebene wie folgt aussieht:
- der Normalenvektor ist der Richtungsvektor von g2
- die Konstante c errechtest Du dann mit Hilfe des Ortsvektors von g1 (wenn ich das richtig verstanden habe, soll g1 auf der Ebene liegen).

Ich hoffe, meine Angaben stimmen ... Werde das gleich mal ausprobieren und mich dann wieder melden.

29.01.2009, 21:54

sulo

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Ja, so bekommst Du eine vernünftige Ebene, die die Bedingungen (g1 in der Ebene, g2 rechtwinklig zu ihr) erfüllt.

Und ist kaum Rechnerei Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.01.2009, 22:04

rosario

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ah ok danke mal kugen ob ich es verstanden hab also der punkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist mein Stützvektor der Normalenvektor mein erster Richtungsvektor und der Sützvektor der 2ten Gerade - den Stützvektor der Ebene mein 2 Richtungsvektor ?
macht das sinn? der Normalenvektor gibt ja meine ebene an.

wenn ich es so rechne hab ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.01.2009, 22:10

sulo

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Wenn Du mal ein paar Satzzeichen verwenden würdest, wäre es wesentlich leichter, durch Deinen Text zu steigen ...
Ich versteh nur Bahnhof

29.01.2009, 22:14

sulo

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Ich habe aber mal Deine Ebene mit meiner verglichen und sie sind nicht identisch.
Daher schätze ich, dass Deine Ebene nicht stimmt ...
Aber ich kann ja trotzdem nochmal nachprüfen, ob sie die Bedingungen erfüllt, zur Sicherheit.

29.01.2009, 22:17

sulo

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Nein, beide Geraden stoßen durch die Ebene, aber keine liegt senkrecht zu ihr.
Also sind beide Bedingungen nicht erfüllt.

29.01.2009, 22:25

rosario

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Hast Recht sorry.

Also der Stützvektor der Geraden 1, ist mein Stützvektor der Ebene.
Der Normalenvektor ist der Richtungsvektor der Ebene. Aber was mache ich mit dem Sützvektor der Geraden 2? $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soll ich den Stützvektor von g1 mit g2 Subtrahieren und das Ergebnis ist dann mein neuer Stüzvektor für die Ebene?

29.01.2009, 22:38

sulo

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Hm, ich denke, Du hast nicht verstanden, was ich geschrieben habe

Zitat:

- der Normalenvektor ist der Richtungsvektor von g2
- die Konstante c errechtest Du dann mit Hilfe des Ortsvektors von g1

Auf diese Art erhalte ich die Ebenengleichung in Normalenform, ich glaube, das ist Dir nicht klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Weil ich gleich off will, zeige ich Dir mal, was zu tun ist, ok? Damit Du es einmal siehst.

Also: Schritt 1

Ich nehme den Richtungsvektor von g2: $\begin{eqnarray*} \vec{r} =\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \mu \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Normalenvektor der Ebene.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{n} =\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schritt 2:
Weil g1 in der Ebene liegt, muss der Ortsvektor von g1 ein Punkt ( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ )in der Ebene sein, der die ANF der Ebenengleichung ( $\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot \vec{x}= c \end{eqnarray*}$ )erfüllt.
So kann ich c ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} 1\cdot 2+0\cdot (-2)+2\cdot (-4) = -6 \end{eqnarray*}$

edit: ich war noch nicht fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also lautet die Gleichung der Ebene: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \cdot \vec{r} = -6 \end{eqnarray*}$

Das war alles. Jetzt muss nur noch überprüft werden, ob die Bedingungen erfüllt werden.
(Werden sie .. Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Aber das musst Du jetzt alleine machen, ich geh nämlich gleich off

Gruß, sulo

29.01.2009, 22:41

rosario

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ah ok das hilft mir schon weiter Big Laugh

Big Laugh

Danke für die Hilfe

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