Wahrscheinlichkeit und Normalverteilung

29.01.2009, 20:27

Wissenscoder

Wahrscheinlichkeit und Normalverteilung

Habe da ein Problem mit einer Aufgabe:

Gegeben sind zwei Taschenlampen vom selben Typ mit My= 200 Stunden und $\begin{eqnarray*} \sigma^2=50^2 \end{eqnarray*}$ Stunden Laufleistung.
Sie sind stochastisch unabhängig und zufällig ausgewählt und normalvertielt.

Nun soll ich die Wahrscheinlichkeit angeben, dass Taschenlampe A eine Laufleistung von genau 200 Stunden und Taschenlampe B eine Laufleistung von über 200 Stunden hat.

Ich komme da nicht so ganz weiter. Ich hätte so angesetzt:
X: Taschenlampe A
Y: Taschenlampe B

P(X=200)+P(Y>=200)
und dann gerechnet.

Aber in der Lösung steht:

P(X=200)*P(Y>=200)

Da sie ja Unabhängig sind, also kann ich, wenn sie unabhängig sind immer multiplizieren?

Und dann steht in der Lösung:

0*P(Y>=200)=0

Warum das insgesamt 0 ist leuchtet mir ein, aber kann mir einer die erste Null vorrechnen?

Denn es müsste doch so sein:

$\begin{eqnarray*} P(X=200)=\Phi(\frac{200-200}{50} ) \end{eqnarray*}$ was 0.5 laut Tabelle ergibt oder nicht?

Wäre euch sehr dankbar. Vielen Dank

Edit: Ich glaube ich habe die Lösung: Das liegt daran, dass bei speziell stetigen Verteilungen ein bestimmter Wert so vernachlässigbar ist, dass er ungefähr den Wert 0 annimmt oder?
Also ich weiß nicht, ob die Begründung stimmt, aber bei stetiger Verteilung ist ein exakter Wert = 0 oder?

29.01.2009, 23:24

Zellerli

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Zitat:

P(X=200)+P(Y>=200)

Sowas ist grundsätzlich gefährlich. Addiere nie stochastisch unabhängige Ereignisse!

Stell dir nur mal vor, die eine Taschenlampe hätte zu 40% eine Haltbarkeit von 200h und die andere zu 70% eine von über 200h (alles rein fiktiv, is ja normalverteilt, etc, sind ja Werte gegeben...) dann hätte dein Ereignis eine Wahrscheinlichkeit über 100%.

Deine restliche Begründung ist korrekt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Taschenlampe genau exakt 200h 0min 0sek 0xyz hält, liegt bei 0. Zumindest, wenn man eine kontinuierliche Verteilung annimmt und keine diskrete, "stufenartige" (wo man z.B. sagen würde 200h Laufzeit ist $\begin{eqnarray*} 199 \leq t < 200h \end{eqnarray*}$ )

29.01.2009, 23:30

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Ergänzend:

Zitat:

Original von Wissenscoder
Denn es müsste doch so sein:

$\begin{eqnarray*} P(X=200)=\Phi(\frac{200-200}{50} ) \end{eqnarray*}$ was 0.5 laut Tabelle ergibt oder nicht?

"Oder nicht" ist zutreffend: Es ist

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 200)=\Phi\left(\frac{200-200}{50} \right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ,

was aber eine andere Wkt als die gesuchte darstellt.

30.01.2009, 10:32

Wissenscoder

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Zitat:

Original von Zellerli

Zitat:

P(X=200)+P(Y>=200)

Das leuchtet mir ein^^ Vielen Dank

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ergänzend:

Zitat:

Original von Wissenscoder
Denn es müsste doch so sein:

$\begin{eqnarray*} P(X=200)=\Phi(\frac{200-200}{50} ) \end{eqnarray*}$ was 0.5 laut Tabelle ergibt oder nicht?

"Oder nicht" ist zutreffend: Es ist

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 200)=\Phi\left(\frac{200-200}{50} \right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ,

was aber eine andere Wkt als die gesuchte darstellt.

Das verstehe ich nicht, wieso benutzt du nun <= ? In der Aufgabe ist nach der Wkt gefragt, dass X genau 200 ist.

30.01.2009, 13:13

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Zitat:

Original von Wissenscoder

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ergänzend:

Zitat:

Original von Wissenscoder
Denn es müsste doch so sein:

$\begin{eqnarray*} P(X=200)=\Phi(\frac{200-200}{50} ) \end{eqnarray*}$ was 0.5 laut Tabelle ergibt oder nicht?

"Oder nicht" ist zutreffend: Es ist

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 200)=\Phi\left(\frac{200-200}{50} \right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ,

was aber eine andere Wkt als die gesuchte darstellt.

Das verstehe ich nicht, wieso benutzt du nun <= ? In der Aufgabe ist nach der Wkt gefragt, dass X genau 200 ist.

Herrje, denk doch mal nach: Finger1

Nicht ich, sondern DU hast mit $\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{200-200}{50} \right) \end{eqnarray*}$ die falsche Wkt berechnet - ich wollte dir nur vor Augen führen, welche falsche Wkt du damit berechnet hast!

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