Fermat Punkt rechnerisch bestimmen

29.01.2009, 21:12

Shrike

Fermat Punkt rechnerisch bestimmen

Hallo zusammen,

ich möchte den Punkt in einem Dreieck bestimmen zu dem die Abstände zu dem Eckpunkte minimal sind. Das müsste ja der Fermat-Punkt sein.
Dafür müsste ich doch das Minimum von
$\begin{eqnarray*} f(x;y)=\sum_{i=1}^3~{\sqrt{(x-x_{i})^2+(y-y_{i})^2}} \end{eqnarray*}$
berechnen.
Ich glaube man muss nun die partiellen Ableitungen bilden. Die müssten doch...
Einmal nach x
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3~{\frac{x-x_{i}}{\sqrt{(x-x_{i})^2+(y-y_{i})^2}}} \end{eqnarray*}$
und nach y
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3~{\frac{y-y_{i}}{\sqrt{(x-x_{i})^2+(y-y_{i})^2}}} \end{eqnarray*}$
...sein.
Diese partiellen Ableitungen müsste man doch gleich 0 setzten. Aber hier weiß ich nicht weiter und bin auf eure Hilfe angewiesen.

Vielen Dank im Vorraus

Shirke

29.01.2009, 21:48

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Über dieses Extremalproblem zu gehen, ist ein ziemlich steiniger Weg, den du dir da ausgesucht hast.

Ich würde es eher geometrisch begründen, und dann aus dieser "Winkelcharakterisierung" des Fermat-Punktes diesen analytisch berechnen (als Schnittpunkt zweier Kreise), wenn man denn letztere Darstellung unbedingt benötigt.

29.01.2009, 22:17

Shrike

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Hallo

zwar wäre die geometrische Lösung einfacher, aber
1.) würde mich mal interessieren wie das anders funktioniert, da ich es selbst nicht hinbekomme
2.) kann man z.B. bei vier punkten das doch nicht mehr geometrisch lösen (oder?)

29.01.2009, 22:30

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Zitat:

Original von Shrike
2.) kann man z.B. bei vier punkten das doch nicht mehr geometrisch lösen (oder?)

Tja, das wäre eine Veränderung der Problemstellung, davon war oben noch keine Rede. Augenzwinkern

Keine Ahnung, ob das bei allgemeiner Lage noch rechnerisch explizit (im Sinne von: ohne iterative Approximation) möglich ist - ich habe gewisse Zweifel daran. Aber meine Intuition kann da auch täuschen.

Na ich hoffe, du findest jemand, der sich den Formelwust antun will - du selbst ja offenbar nicht? Augenzwinkern

Ok, als letztes ein möglicher Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-x_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-x_1)^2}} + \frac{x-x_2}{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-x_2)^2}} &=& -\frac{x-x_3}{\sqrt{(x-x_3)^2+(y-x_1)^3}} \qquad (1)\\ \frac{y-y_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-x_1)^2}} + \frac{y-y_2}{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-x_2)^2}} &=& -\frac{y-y_3}{\sqrt{(x-x_3)^2+(y-x_1)^3}} \qquad (2) \end{eqnarray*}$

Gleichung (1) mit $\begin{eqnarray*} (y-y_3) \end{eqnarray*}$ multiplizieren, Gleichung (2) mit $\begin{eqnarray*} (x-x_3) \end{eqnarray*}$ multiplizieren, dann gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-x_1)(y-y_3)-(x-x_3)(y-y_1)}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-x_1)^2}} = \frac{(x-x_3)(y-y_2)-(x-x_2)(y-y_3)}{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-x_2)^2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man das erste Quadrieren wagen, und hat trotzdem noch einen langen Weg vor sich...

30.01.2009, 18:26

Shrike

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Hi

Danke für die Anregung mit dem Gleichsetzen. Ich werde es mal probieren.

P.S.
Ich bin nicht zu faul das zu rechnen. Ich hatte nur erst keine Ahnung wie ich es anstellen soll

28.02.2022, 14:09

Noneedforaname

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Ansatz über Skalarprodukte und Funktion mit zwei Variablen:
f(x,y)=||P-A||+||P-B||+||P-C||

Damit Jacobi-Matrix aufstellen und Lösungen für Nullmatrix finden. Hesse-Matrix aufstellen und mit Lösungen der Jacobi-Matrix Art des Extremums bestimmen.

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