y=5x*e^(-(x^2/2) - Nullstellen ,Wende- und Extrempukte und im Intervall Skizzieren

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30.01.2009, 11:03	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
*y=5xe^(-(x^2/2) - Nullstellen ,Wende- und Extrempukte und im Intervall Skizzieren** Hallo ihr lieben ich hab folgendes problem: ich hab die fkt: y=5x*e^(-(x^2/2) gegeben es steht auch da dass k der graph von der Fkt ist. Nun ist die fragenach den Nullstellen von f(x), lokale extrem- und wendestellen und dann soll ich auch noch K im Intervall -1(kleiner gleich)x(kleiner gleich)5 skizzieren! ich weis zwar wieich extrem, wende und nullstellen bestimme aber ich hab da x und e drinne und weis nicht wie ich dass da rechnen soll..und mit dem skizzieren weis ich auch nicht annähernd was da rauskommne soll... wäre echt lieb von euch wenn mir da jemand helfen könnte...vilen dank schonmal im vorraus... lg Michi
30.01.2009, 11:15	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} f(x)=5x \cdot e^{-(x^2/2)} \end{eqnarray}$ . Wissen: $\begin{eqnarray} e^x \neq 0 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} e^{-(x^2/2)} \neq 0 \end{eqnarray}$ Weiter ist ein Produkt $\begin{eqnarray} =0 \end{eqnarray}$ , wenn einer der Faktoren $\begin{eqnarray} =0 \end{eqnarray}$ ist. Was bedeutet dies denn für die Nullstellen?
30.01.2009, 11:50	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
naja wenn ich nullsetze dann ist nullstelle x=0, aber kann es dann sein dass es keine wendestellen gibt wenn f`=0 ist?...oder denk ich da schon wieder falsch..?....
30.01.2009, 11:52	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Da denkst du falsch. $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ ist eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle. Natürlich kann es sein, dass es keine Wendestellen gibt, aber das sieht man nicht an $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Bestimme mal $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ . PS: Deine Nullstelle ist richtig.
30.01.2009, 11:56	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei mir kommt da (5-5x^2)e^(-(x^2/2)
30.01.2009, 11:58	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} f'(x) = (5-5 \cdot x^2) \cdot e^{-(x^2/2)} \end{eqnarray}$ . Die Ableitung ist richtig. Und nun setze $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Hierbei musst du wieder das von vorhin beachten.
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30.01.2009, 12:07	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich jetzt alles richtig gerechnet hab dann kommt bei mir folgendes raus: Extrempukte: E1 (-1/-5e^(-(1/2)) E2 (1/5e^(-(1/2) Wendepunkte: W1 (- Wurzel aus 3/-5e^(-(3/2) W2 (0/0) W3 (Wurzel aus 3 /5e^(-(3/2) ich hoffe es ist richtig..und wie ist das jetzt mit den global und lokal?... asso..sry dass ich dass mit dem latex noch nich drauf hab...ich schrebs immer noch alles mit wörtern verlegen is
30.01.2009, 12:15	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Hast du mit der 2. Ableitung nachgewiesen, dass es sich wirklich um Extrema handelt? $\begin{eqnarray} f''(1) < 0 \end{eqnarray}$ --> Max. und $\begin{eqnarray} f''(-1)>0 \end{eqnarray}$ --> Min. 2. Für die Wendestellen musst du noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} f'''(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ gilt.
30.01.2009, 12:18	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist vielleicht noch sinnvoll, die Werte für Extrema und Wendepunkte zu berechnen.
30.01.2009, 12:22	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich f´´(1) setze kommt nen kleiner 0 und wenn ich f´´(-1) setze kommt größer null raus dass stimmt auf jeden fall und f´´´(x) ist auch ungleich null......und das skizzieren hab ich grad festgestellt ist ja dann kein problem ...aber da is noch ne aufgabe b und c...de mir noch viel schwieriger erscheinen..ich setzt sie einfach gleich mal mit rein...
30.01.2009, 12:24	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: y=5xe^(-(x^2/2) - Nullstellen ,Wende- und Extrempukte und im Intervall Skizzieren** Denk dran, auch die Art des Extremas mit aufzuschreiben.
30.01.2009, 12:29	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
b) der graph K, die x-Achse und die gerade x=5 begrenzen eine Fläche vollstndig. Dieser betrachteten Fläche ist ein rechtwinkliges dreieck ein beschrieben. Seine Eckpunkte sind 0(0;0), P(x;f(x)) sowie Q (x;0) (Q ist Fußpunkt des lotes von P auf die x-Achse). Rotiert dieses rechtwinklige Dreieck um die x- Achse, so entsteht ein gerader Kreiskelgel. berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P für den fall, dass das Volumen des kegels maximal wird! und c) Vom Punkt L(0;2) wird eine Tangente an g(x) mit g(x)= x*e^(-(x/2) gelegt. Ermitteln sie eine gleichung der tangenten. ..so und da seh ich nun entgltig schwarz also ich weis da überhaupt kein anfangspunkt..ich hab mir jetzt erstmal den raph zeichnen gelassen ,,aber das wars auch schon.....
30.01.2009, 12:30	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: y=5xe^(-(x^2/2) - Nullstellen ,Wende- und Extrempukte und im Intervall Skizzieren** ja mach ich..der hinweis is lieb..g
30.01.2009, 12:56	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal c) ... ist leichter Eine Tangente hat die Gleichung $\begin{eqnarray} y=mx+b \end{eqnarray}$ . Wann geht diese durch $\begin{eqnarray} L(0,2) \end{eqnarray}$ ?
30.01.2009, 13:05	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
also durh den punktL(0;2) hab ich dann 2=m*0+n daraus folgt dann n=2..?!
30.01.2009, 13:11	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, also $\begin{eqnarray} y = mx+2 \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ so bestimmen, dass die Gerade die Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ berührt. Ansatz: Bestimme ein Punkt $\begin{eqnarray} P(x_0;g(x_0)) \end{eqnarray}$ mit: 1. $\begin{eqnarray} y(x_0) = g(x_0) \end{eqnarray}$ , d.h. die Funktion geht durch den Punkt. 2. $\begin{eqnarray} g'(x_0) = m \end{eqnarray}$ , die Funktion hat dieselbe Steigung in diesem Punkt.
30.01.2009, 13:26	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei dem Punkt hab ich raus (2; 2e^(-1))..??...und bei m kommt dann aber 0 raus wenn ich g(x_o) differenziere..!..?..also x_o ist bei mir ja 2e^(-1).ist das überhaupt richtig?
30.01.2009, 13:33	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gebe dir mal stichpunktartig die Rechnung vor... Bestimme zunächst $\begin{eqnarray} g'(x) = e^{-1/2x} (1-1/2x) \end{eqnarray}$ . Sei bei $\begin{eqnarray} x=a \end{eqnarray}$ die Tangente, für die gilt $\begin{eqnarray} y(0)=2 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} g'(a) = e^{-1/2a} (1-1/2a) = m \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} y = e^{-1/2a} (1-1/2a) x + 2 \end{eqnarray}$ . Nun bestimme $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(a) = y(a) \end{eqnarray}$ .
30.01.2009, 13:40	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
wie bistn du auf diese (1-1)/2x) gekommen?
30.01.2009, 13:41	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} g'(x) = e^{-1/2x} - 1/2 x e^{-1/2x} = e^{-1/2x} ( 1 - 1/2x) \end{eqnarray}$
30.01.2009, 13:51	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok..das is klar....aber ich hab ja schon g´(x) was anderes raus, ich hab da ja null raus...denn wenn ich g null setze um x_o rauszukiregen kommt bei mir null raus...ich checks nich..sry..
30.01.2009, 14:02	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Du nimmst erstmal an, dass bei $\begin{eqnarray} x=a \end{eqnarray}$ die Tangente ist, die $\begin{eqnarray} y(0) = 2 \end{eqnarray}$ erfüllt ( $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ wollen wir später bestimmen). Dann bestimme die Funktionsgleichung $\begin{eqnarray} y=mx+b \end{eqnarray}$ der Tangente in $\begin{eqnarray} x = a \end{eqnarray}$ : 1. $\begin{eqnarray} m = g'(a) = e^{-1/2a} (1-1/2a) \end{eqnarray}$ (das ist die Steigung in diesem Punkt, ein fester Wert) 2. $\begin{eqnarray} L(0;2) \end{eqnarray}$ geht durch die Tangente. Also $\begin{eqnarray} b = 2 \end{eqnarray}$ Setzt man $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ein, erhält man $\begin{eqnarray} y = e^{-1/2a} (1-1/2a) \cdot x + 2 \end{eqnarray}$ . Jetzt wollen wir $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bestimmen. Was wir noch nicht benutzt haben ist, dass $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ in den Punkt $\begin{eqnarray} (a; g(a)) \end{eqnarray}$ schneidet, d.h. $\begin{eqnarray} y (a) = e^{-1/2a} (1-1/2a) \cdot a + 2 = a \cdot e^{1/2a} = g(a) \end{eqnarray}$ Daraus bestimmt nun den Wert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ .
30.01.2009, 14:11	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
ist a zufälliger weise: 1,134 ?..verzweifelt schaut...
30.01.2009, 14:12	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab da $\begin{eqnarray} a = - 1.4069 \end{eqnarray}$ raus.
30.01.2009, 14:18	Knutschkeksi	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm du wirst sicher recht haben.... .....kannste mir vlt auch nen paar tipps zu b) geben..?
30.01.2009, 14:23	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja mach ich... hab dir dazu auch nen Bild gemacht. Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du den Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und die Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ des Kegels finden (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ) Dies sieht man am Bild. Also ist das Volumen abhängig von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und ich kann $\begin{eqnarray} V(x) \end{eqnarray}$ schreiben. Bestimme nun das Maximum davon (Ableiten, Nullsetzen und mit der 2. Ableitung überprüfen $\begin{eqnarray} V'' < 0 \end{eqnarray}$ )

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