Schiefe Asymptote

30.01.2009, 13:48	@Irina@	Auf diesen Beitrag antworten »
Schiefe Asymptote Hallo, ich bin neu hier und muss leider gleich eine Frage zu den schiefe Asymptoten stellen. Aufgabe: Ermitteln Sie die schiefe Asymptote der Funktion f: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^3+6x+9}{x^2+3x} \end{eqnarray}$ Lösung: Mittels Polynomdivision erhält man: $\begin{eqnarray} f(x) = x-3+\frac{3}{x}+\frac{12}{x+3} \end{eqnarray}$ Da die beiden letzten Summanden für große Beträge von x annähert null werden bzw. der Grenzwert für x gegen das positive und negative Unendliche null ist, gilt für die schiefe Asymptote g(x): $\begin{eqnarray} g(x) = x-3 \end{eqnarray}$ Anderer (falscher) Lösungsweg: Man dividiert den Zähler und den Nenner durch x²: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}{1+^\frac{3}{x}} \end{eqnarray}$ Die Brüche mit x bzw. x² im Nenner nähern sich für große Beträge von x erneut null an, somit erhielte man für die schiefe Asymptote g(x): $\begin{eqnarray} g(x) = x \end{eqnarray}$ Was ist am zweiten Lösungsweg falsch bzw. warum funktioniert dieser nicht? Vielen Dank für die Antwort im Voraus! Liebe Grüße Irina
30.01.2009, 14:15	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey @Irina@, an Board! Die Frage fand ich auch immer interessant. Im zweiten "Lösungs"weg könntest du immernoch eine Polynomdivision durchführen und würdest auf die selbe Form wie im ersten Weg kommen. Außerdem ist das asymptotische Verhalten ja nicht zwangsläufig mit dem Limes gegen unendlich gleichzusetzen: Der würde nämlich in beiden Fällen "unendlich" ergeben. Denn die -3 im ersten Weg fällt flach und im zweiten ist es direkt offensichtlich. Setze mal in den zweiten Weg eine "große" Zahl ein. Z.b.: $\begin{eqnarray} x=1000 \end{eqnarray}$ du wirst erhalten $\begin{eqnarray} f(x) \approx 997 = 1000-3 = x-3 \end{eqnarray}$ . Wichtig ist also, wie sich die Funktionswerte für ausreichend Große x verhalten, nicht für annähernd unendlich große x.

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