Übergangsmatrix

30.01.2009, 13:59	iloveOOv	Auf diesen Beitrag antworten »
Übergangsmatrix Hey, ich hätte mal ne Frage zu Übergangsmatrix. Bei allen Beispielen die ich im Internet in Threads etc. gefunden habe sind der Startvektor schon immer vorgegeben und auch die Prozentzahlen. Ich habe das in meiner Aufgabe jedoch genau umgekehrt. Im Jahre 1980 hatte Aahausen endlich die 100.000-Einwohner-Grenze geknackt und durfte sich Großstadt nennen - danach allerdings sollte die Einwohnerzahl für lange Zeit stagnieren. Während 1980 noch 80.000 Bürger in der Innenstadt und 20.000 in den Randbezirken lebten, war das Verhältnis zehn Jahre später 76.000 zu 24.000 – viele hatten das hektische Leben in der Großstadt satt, anderen wiederum war es am Stadtrand doch zu ruhig. Bis zum Jahr 2000 waren dann so viele Bürger umgezogen, dass nur noch 73.200 in der Innenstadt und 26.800 am Rand der Stadt wohnten. Der „Umzugstrend“ war dabei gleichbleibend. Ermitteln Sie aus den gegebenen Werten eine „Übergangsmatrix“, die angibt, welcher Anteil der Innenstadtbewohner innerhalb von zehn Jahren an den Stadtrand zieht und welcher Anteil der Randbezirksbewohner sich in die andere Richtung aufmacht. Ich hoffe wirklich ihr könnt mir noch bis morgen helfen.
30.01.2009, 14:38	sdfsdf	Auf diesen Beitrag antworten »
Startvektor [Einwohner Großstadt, Einwohner Randgebiet] = [80000, 20000] Die Prozentzahlen kannst du ja nun selbst ausrechnen, genauso wie die Übergangsmatrix oder? Was hast du bisher für Überlegungen angestellt?
30.01.2009, 15:11	iloveOOv	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Startvektor mit (80.000 / 20.000) hatte ich auch schon. Und ich denke die Übergangsmatrix wird 4 Einträge haben. Ich weiß jedoch nicht wie ich von den Einwohnerzahlen in 1990 und 2000 die Prozentzahlen und somit die genauen Einträge der Übergangsmatrix erhalte.
30.01.2009, 15:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} x_0 = (80000,20000) \end{eqnarray}$ den (Zeilen-)Startvektor der Einwohnerzahlen im Jahr 1980, und $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ den entsprechenden Einwohnerzahlenvektor nach n x 10 Jahren angibt, dann ist $\begin{eqnarray} p_n = p_{n-1} \cdot P \end{eqnarray}$ mit Übergangsmatrix $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \\ 1-\beta & \beta\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ der Anteil der in der Stadt verharrenden und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ der Anteil der in den Randbezirken verharrenden Menschen darstellt. Der Aufgabe sind weiterhin $\begin{eqnarray} x_1 = (76000,24000) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 = (73200,26800) \end{eqnarray}$ entnehmbar. Aus den beiden Gleichungen $\begin{eqnarray} x_1=x_0\cdot P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2=x_1\cdot P \end{eqnarray}$ sind nun $\begin{eqnarray} \alpha,\beta \end{eqnarray}$ bestimmbar.
30.01.2009, 15:46	iloveOOv	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm...ich erhalte somit durch: 80000x+20000y=76000 76000x+24000y=73200 die Werte x=(9/10) und y=(1/5) und wie komm nun auf die Übergangsmatrix?
30.01.2009, 16:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich gerade geschrieben (Augen auf!), wobei dein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ meinem $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , und dein $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ meinem $\begin{eqnarray} 1-\beta \end{eqnarray}$ entspricht.
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30.01.2009, 16:33	iloveOOv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erhalte somit als Übergangsmatrix: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} \frac{9}{10}& \frac{1}{10} \\ \frac{1}{5} & \frac{6}{5} \\ \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Als Lösung in den Materialien steht jedoch : $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} \frac{19}{20}& \frac{1}{10} \\ \frac{1}{20} & \frac{9}{10} \\ \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Und ich versteh echt nicht wie man darauf kommt. Schreib morgen Klausur und verstehe das immer noch nicht. Wie kommt man auf diese Übergangsmatrix als Lösung?
30.01.2009, 18:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit den $\begin{eqnarray} \frac{6}{5} \end{eqnarray}$ solltest du nochmal überdenken... Was die vermeintliche Musterlösungbetrifft: Zum einen kommt es drauf an, was man als erste oder zweite Komponente ansieht, ob nun die Innenstadt- oder Außenbezirksbewohner, bzw. ob ihr eher mit Zeilenvektoren (wie bei mir oben) $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x^n \cdot P \end{eqnarray}$ oder doch eher mit Spaltenvektoren $\begin{eqnarray} x_{n+1} = P \cdot x_n \end{eqnarray}$ arbeitet - der Unterschied zwischen beiden Varianten ist, dass die Ü-Matrix von einer zur anderen Variante transponiert werden muss. Und zum anderen können Musterlösungen auch mal irren.

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