Logarithmen

30.01.2009, 15:58

digi

Logarithmen

Hallo,

ich versuche da eine Logarithmen Gleichung zu lösen.. jedoch bin ich irgendwie ziemlich eingerostet auf diesem Gebiet.

$\begin{eqnarray*} \frac{log (3x)}{log (2)} + \frac{log (5x)}{log (4)} = 3 \end{eqnarray*}$

Hab versucht mit ausklammern des Log.. weiss dann aber nicht weiter was mit dem 3 sein soll verwirrt

$\begin{eqnarray*} log(\frac{3x}{2} + \frac{5x}{4}) = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(\frac{19x}{4} ) = 3 \end{eqnarray*}$

Wie muss ich da vorgehen?

Danke für jede Hilfe! smile

30.01.2009, 16:15

digi

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RE: Logarithmen
ähm.. hab sich noch ein Fehler eingeschlichen.. Augenzwinkern

meinte:

$\begin{eqnarray*} log(\frac{11x}{4} ) = 3 \end{eqnarray*}$

30.01.2009, 16:18

uwe-b

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Wende doch erstmal die Exponentialfunktion darauf an....

30.01.2009, 16:20

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Ein Fehler? Eine ganze Armada Fehler! unglücklich

Es gibt weder die Regel $\begin{eqnarray*} \frac{\log(a)}{\log(b)} \stackrel{?}{=} \log\left( \frac{a}{b} \right) \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \log(a) + \log(b) \stackrel{?}{=} \log(a+b) \end{eqnarray*}$ . Schau dir mal die richtigen Logarithmenregeln an, bevor du einen neuen Umformunugsversuch startest.

30.01.2009, 16:42

digi

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ja, stimmt.. da hab ich eine ganz Armada an Fehler gemacht... traurig

also noch einmal einen Versuch:

Ursprungsaufgabe:

$\begin{eqnarray*} log_2(3x) + log_4(5x) = 3 \end{eqnarray*}$

Schritt 1: Basis wechsel

$\begin{eqnarray*} \frac{log(3x)}{log(2)} + \frac{log(5x)}{log(4)} =3 \end{eqnarray*}$

Schritt 2: ...was als nächstes?

30.01.2009, 17:05

Rare676

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Bring es auf den gleichen Nenner und multipliziere dann damit.

Tipp: $\begin{eqnarray*} 4=2^2 \end{eqnarray*}$

30.01.2009, 17:24

digi

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Also das würde dann in etwa so aussehen, oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{log(3x)log(4)}{log(2)log(4)} + \frac{log(5x)log(2)}{log(4)log(2)} =log(10^{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{log(3x)log(4)+ log(5x)log(2)}{log(2)log(4)} =log(10^{3}) \end{eqnarray*}$

Hast du das so gedacht?

31.01.2009, 09:27

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@digi

Als erstes einen Basiswechsel gemäß $\begin{eqnarray*} \log_x(y) = \frac{\log_b(y)}{\log_b(x)} \end{eqnarray*}$ durchzuführen, ist schon mal die richtige Idee von dir, ich wiederhole nochmal dein Ergebnis von oben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\log_b(3x)}{\log_b(2)} + \frac{\log_b(5x)}{\log_b(4)} =3 \end{eqnarray*}$ .

Anschließend kannst du aber eine Basis $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wählen, mit der die Rechnung leichter (zumindest übersichtlicher) vonstatten geht - diese Wahlfreiheit hast du, und du solltest sie nutzen! Im vorliegenden Fall liegt die Wahl $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ auf der Hand, angesichts von

Zitat:

Original von Rare676
Tipp: $\begin{eqnarray*} 4=2^2 \end{eqnarray*}$

denn das bedeutet ja $\begin{eqnarray*} \log_2(4)=2 \end{eqnarray*}$ , womit man deine Gleichung

$\begin{eqnarray*} \log_2(3x) + \frac{\log_2(5x)}{2} =3 \end{eqnarray*}$

schreiben kann. Jetzt bist du wieder am Zug. Augenzwinkern

31.01.2009, 12:27

digi

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Danke

versuche da mal weiter zu lösen...

$\begin{eqnarray*} log_2(3x) + \frac{log_2(5x)}{2} = 3 \end{eqnarray*}$

als nächstes könnte man subtrahieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{log_2(5x)}{2} = 3-log_2(3x) \end{eqnarray*}$

multiplizieren mit 2:

$\begin{eqnarray*} log_2(5x) = 6-2log_2(3x) \end{eqnarray*}$

6 as Log mit Basis 2 schreiben:

$\begin{eqnarray*} log_2(5x) = log_2(2^6)-log_2((3x)^2) \end{eqnarray*}$

Nun die rechte Seite als ein Term schreibehn

$\begin{eqnarray*} log_2(5x) = log_2\frac{(2^6)}{(3x)^2} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?
Da jetzt beide Seiten den Gleichen Log verwenden, ist es Möglich dieser zu eliminieren?

31.01.2009, 20:17

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Genau das solltest du nun tun. Freude

02.02.2009, 00:51

digi

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hehe.. vielen Dank für deine Hilfe... Jetzt hats endlich geklappt!! Big Laugh

$\begin{eqnarray*} log_2(5x) = log_2\frac{(2^6)}{(3x)^2} \end{eqnarray*}$

Log eliminieren:

$\begin{eqnarray*} 5x = \frac{(2^6)}{(3x)^2} \end{eqnarray*}$

mit dem Nenner multiplizieren

$\begin{eqnarray*} 45x^3 = 2^6 \end{eqnarray*}$

dividieren mit 45:

$\begin{eqnarray*} x^3 = \frac{(2^6)}{45} \end{eqnarray*}$

radizieren:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{\frac{2^6}{9*\sqrt[2]{5}}} \end{eqnarray*}$

und jetzt noch einwenig Kosmetik:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{(\frac{2^4}{3*\sqrt[2]{5}})^2} \end{eqnarray*}$

und zum Schluss das Gleiche Resultat wie in den Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x = (\frac{8}{3\sqrt[2]{5}})^\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

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