Probleme mit Konvergenz 1/k x^k

30.01.2009, 16:24

fisch_10

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Probleme mit Konvergenz 1/k x^k

Hi, hab ein kleines Problem mit einer Aufgabe:
Die lautet:
Bestimme alle x€R für die die Potenzreie
Summe(k=1 bis OO) 1/k mal x^k konvergiert.

also ich hab das ganze so verstanden: 1/k konvergiert gegen 0
x^k gegen OO und deshalb konvergiert die Reihe gegen OO ?!?!?

Naja hoffe dass ich evtl ein bisschen von dem Zeugs verstanden hab.... oder auch nicht!

30.01.2009, 16:38

tmo

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Sagt dir die geometrische Reihe etwas?

Das hier ist doch fast solch eine.

31.01.2009, 00:50

WebFritzi

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RE: Probleme mit Konvergenz 1/k x^k

Zitat:

Original von fisch_10
also ich hab das ganze so verstanden: 1/k konvergiert gegen 0
x^k gegen OO und deshalb konvergiert die Reihe gegen OO ?!?!?

Naja hoffe dass ich evtl ein bisschen von dem Zeugs verstanden hab.... oder auch nicht!

Eher nicht. Was du da faselst, ist kompletter Unsinn. Besser, du schaust nochmal in dein Skript oder deine Vorlesungsmitschrift. Mal davon abgesehen konvergiert x^k nur für x > 1 gegen oo.

01.02.2009, 12:06

fisch10

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oh vielen dank für die konsstruktive kritik.... jetzt weis ich aber leider immer noch nicht was die antwort auf meine frage ist...

01.02.2009, 12:10

kiste

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Immerhin weißt du jetzt das du einmal die geometrische Reihe anschauen solltest und das deine aktuellen Lösung falsch ist. Außerdem weißt du dass es für x>=1 nicht konvergieren kann!

Das ist doch schon einiges, also kein Grund dich zu beschweren geschockt

geschockt

Ansonsten hilft dir auch noch das Quotienten oder Wurzelkriterium

01.02.2009, 12:17

fisch10

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@ kiste. war keine beschwerde, nur wenn man was nicht versteht dann wird es einem auch nicht klarer, wenn noch mehr wirres zeugs geredet wird.
klar sagt mir die geo.reihe was.
nur leider kann ich bzgl des quotientenkriteriums keinen lösungsansatz aufstellen....
wäre dir echt dankbar wenn du mir diesen kurz mitteilen könntest. v.a check ich nicht wie ich von ak+1 /ak = q auf meine ausgangssumme kommen soll.

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01.02.2009, 12:27

kiste

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Es ist $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{x^k}{k} \end{eqnarray*}$ . Jetzt nur noch einsetzen.

01.02.2009, 12:29

fisch_10

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@kiste: hab natürlich auch gegoogelt und mir die passende übung rausgesucht. leider hab ichs auch mit hilfe der übung nicht kapiert. bzw. ich kapier das quotkrit. auch in der übung nicht:
\sum_{k=1}^n~k = \frac{k²}{ 2^{k} }

mit quoti.krit. kommt dann das hier raus: \frac{(k+1)² * 2^{k}}{{2^{k+1}k²}#

tja und diesen schritt kapier ich nicht. danach ist es nur umformen und kürzen woraus dann 1/2 resultiert. nur wie gesagt diesen schritt versteh ich nicht - und deshalb warscheinlich auch die ursprüngliche aufgabe des themas.

01.02.2009, 12:35

kiste

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = \frac{k²}{ 2^{k} } \end{eqnarray*}$ macht keinen Sinn da k rechts nicht gebunden ist!

Was du mit dem Quotientenkriterium hier meinst verstehe ich auch nicht.

Bleibe doch einmal bei dem Beispiel das wir hier haben! Einfach einsetzen!

01.02.2009, 12:41

fisch_10

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dann komm ich auf x^k+1 / k

01.02.2009, 12:43

kiste

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Wie kommst du darauf? Schreibe bitte jeden Schritt auf. Für LaTeX benutze [ latex ] und [ /latex ] (ohne Leerzeichen).

01.02.2009, 12:56

fisch_10

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mist nee totaler blödsinn,,, also wenn ich das ganze einsetze dann kommt raus:
bzgl latex zeig mir mal ein bsp!
(x^(k+1) * k) / (k * x^k) --> k kürzt sich raus dann bleibt stehen x^(k+1)/x^k

01.02.2009, 12:58

kiste

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^{k+1}k}{x^k(k+1)} \end{eqnarray*}$ stimmt. Du hast vergessen dass beim zweiten mal k eben k+1 ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

code:
1:	[latex]\frac{x^{k+1}k}{x^k(k+1)}[/latex]

. Jetzt kürzen und den Grenzwert für k gegen unendlich berechnen.

01.02.2009, 13:28

fisch_10

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sorry hab gerade was nachgerechnet... hab aber noch ne frage. für x>1 heißt es ja oo durch oo und das ist ja 1 oder? da bin ich mir nie sicher??!?! aber danke für deine geduld. solltest lehrer werden :-)

01.02.2009, 13:33

kiste

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Nein Lehrer sollte ich keinesfalls werden Big Laugh

Big Laugh

Du solltest dir abgewöhnen mit unendlich zu rechnen! Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2} \to 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{n^2} n \to \infty \end{eqnarray*}$ aber beides ist " $\begin{eqnarray*} \frac \infty \infty \end{eqnarray*}$ ".

Kürze durch $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ und berechnen dann den Grenzwert.

01.02.2009, 14:40

fisch_10

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du musst mir nochmal auf die sprünge helfen:
ich bin bei:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to\infty\frac{x k}{k+1} } \end{eqnarray*}$

heißt für x=0 --> 0
für x<0 --> 1
für x>0 --> 1

nochmals danke!!!

01.02.2009, 14:51

WebFritzi

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Editiere bitte deinen letzten Beitrag. Davon abgesehen, ist das, was du da wieder schreibst, erneut Unfug. Überleg dir doch mal, was z.B. für x = 10 passiert.

01.02.2009, 14:58

fisch_10

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$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\frac{xk}{k+1} \end{eqnarray*}$

wieso für x=10??

01.02.2009, 17:11

WebFritzi

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Entschuldige bitte. Diesmal habe ich Unfug geschrieben. Ich hatte x^k anstatt xk gelesen. Dann ist deine Fallunterscheidung natürlich richtig. Für x = 0 geht's gegen Null und sonst gegen 1. D.h., außer für x = 0 kannst du mit dem Quatientenkriterium herzlich wenig anfangen. Nimm anstattdessen - wie schon früher gesagt - die geometrische Reihe als Majorante bzw. die harmonische als Minorante.

01.02.2009, 17:22

kiste

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Du hast schon wieder Unfug geschrieben Big Laugh

Big Laugh

Der Grenzwert ist immer x!

01.02.2009, 17:29

WebFritzi

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Oh Gott. Ich sollte mehr schlafen und weniger Bier trinken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, klar, stimmt. Auch im Fall x = 0.

01.02.2009, 17:36

fisch_10

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ok, das heißt meine letzte antwort war richtig... ich dachte schon ich versteh bahnhof... euch beiden vielen dank:-)

01.02.2009, 17:38

WebFritzi

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Nein, deine letzte Antwort war falsch! unglücklich

unglücklich

01.02.2009, 17:38

kiste

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Nein?! Es gibt auch Werte ungleich 0 oder 1 die der Grenzwert annimmt?

01.02.2009, 17:42

fisch_10

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also war sie jetzt falsch oder nicht vollständig? und welche werte sind dass dann... ?????? traurig

traurig

01.02.2009, 17:50

kiste

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Les doch einmal...

Der Grenzwert ist x, das solltest du aber auch in diesem Stadium, sprich dem Untersuchen von Reihen, berechnen können.

Was folgt dann für die Konvergenz der Reihe?

01.02.2009, 17:55

fisch_10

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ich steh jetzt absolut auf dem schlauch. hab heute 6std mathe hinter mir und wäre äußerst dankbar wenn du mir diese schlussfolgerung sagen könntest ich komm nicht drauf!?!?!?!? Hammer

Hammer

01.02.2009, 18:02

kiste

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Mein Gott...

Was sagt den das Kriterium aus?

01.02.2009, 18:03

fisch_10

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dass das nur gilt für q<1

01.02.2009, 18:12

WebFritzi

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Was ist denn jetzt q? Und nochmal ganz deutlich:

Der Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \frac{xk}{k+1} \end{eqnarray*}$

ist x.

01.02.2009, 18:36

fisch10

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die allgemeine formel besagt doch, dass ak+1/ak <q =1 sein muss?!?

naja wie auch immer ja der grenzwert ist x. also ich wär jetzt echt super froh wenn du mir es sagen könntest. ich weis es nicht!!!

01.02.2009, 19:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von fisch10
die allgemeine formel besagt doch, dass ak+1/ak <q =1 sein muss?!?

Nein, das stimmt leider nicht.

01.02.2009, 19:40

fisch10

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Gegeben sei eine unendliche Reihe S := \sum_{n=0}^\infty a_n mit reellen oder komplexen Summanden a_n\neq 0 für alle n \in \mathbb{N}. Gibt es einen Index n0 und ein q < 1 so, dass für alle n > n0

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le q<1,
t
so ist die Reihe absolut konvergent. Gibt es dagegen einen Index n0, sodass für alle n > n0

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ge 1,

so ist die Reihe divergent.

Im Fall der Konvergenz muss q von n unabhängig und echt kleiner als 1 sein. Gilt lediglich \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1, kann also \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.

also laut wikipedia stimmts.

mir wäre es jetz am liebsten wenn du mir einfach sagen könntest was nun stimmt und was nicht. wenn nicht ists mir auch egal weil einfach zu schreiben es stimmt nicht kann jeder. ein forum ist meines erachtens dafür da dem fragenden zu helfen, was bis zur hälfte des threads auch geschehen ist... nur einfach zu sagen es stimmt nicht hilft mir leider nicht.

also mein letztes mal (von 3) kann mir jemand nun die richtige interpretation vom grenzwert =x sagen?!?!?

danke

01.02.2009, 20:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von fisch10
Gegeben sei eine unendliche Reihe S := \sum_{n=0}^\infty a_n mit reellen oder komplexen Summanden a_n\neq 0 für alle n \in \mathbb{N}. Gibt es einen Index n0 und ein q < 1 so, dass für alle n > n0

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le q<1,
t
so ist die Reihe absolut konvergent. Gibt es dagegen einen Index n0, sodass für alle n > n0

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ge 1,

so ist die Reihe divergent.

Im Fall der Konvergenz muss q von n unabhängig und echt kleiner als 1 sein. Gilt lediglich \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1, kann also \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.

also laut wikipedia stimmts.

Nein. Schau dir einfach an, was du geschrieben hast.

Zitat:

Original von fisch10
mir wäre es jetz am liebsten wenn du mir einfach sagen könntest was nun stimmt und was nicht.

Das werde ich sicher nicht tun, denn ein minimales Mitwirken deinerseits wäre schon angebracht. Dein Problem ist nunmehr trivial - du musst nur noch einsetzen. Dazu solltest du schon in der Lage sein.

Zitat:

Original von fisch10
wenn nicht ists mir auch egal weil einfach zu schreiben es stimmt nicht kann jeder.

Das kann zwar jeder, aber ob man dann auch damit recht hat, ist eine andere Sache.

Zitat:

Original von fisch10
ein forum ist meines erachtens dafür da dem fragenden zu helfen, was bis zur hälfte des threads auch geschehen ist... nur einfach zu sagen es stimmt nicht hilft mir leider nicht.

Ob es dir hilft oder nicht, ist mir dabei egal, denn dein Post zeigt, dass du dich nicht hinreichend mit der ganzen Sache beschäftigst. Deine Beiträge sind derart schlurig, dass man den Eindruck hat, dass du es gar nicht wirklich verstehen willst, sondern nur eine Musterlösung wünschst. Wenn du in der Vergangenheit bzgl. der Mathematik immer so vorgegangen bist, dann würde ich dir dringend raten, dies zu ändern, denn du lernst dabei so gut wie nichts.

Zitat:

Original von fisch10
also mein letztes mal (von 3) kann mir jemand nun die richtige interpretation vom grenzwert =x sagen?!?!?

Wie gesagt: Setz in deine (korrigierte) Formel ein (siehe auch dein zitierter Wikipedia-Abschnitt).

01.02.2009, 20:13

fisch10

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tja das problem an der ganzen sache ist, dass es leider auch menschen auf dieser welt gibt, die in mathe nicht so die überflieger sind. ich schreib am dienstag ne klausur, und da wäre es hilfreich wenn ich das ergebnis wüsste, es ist aber nich notwendig.

bzgl meiner formel ich denke du bemängelst <q=1 was natürlich q<1heißen sollte.

ich habe nun für lim k-->OO xk/k+1 den grenzwert x. nur verstehe ich schon mal nicht wieso x!? deshalb habe ich gedacht mir hilft evtl die lösung des ganzen um das zu verstehen.

vielleicht wärst du so freundlich und erklärst mir das!?

01.02.2009, 20:26

fisch10

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x1/2+x2/3+x3/4+...+x n/n+1

also konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{xk}{k+1} \end{eqnarray*}$ für alle x = x n/n+1

?!?!?!?!?!?

01.02.2009, 20:29

WebFritzi

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Was schreibst du da nur wieder für einen Unsinn? In der Mathematik rät man nicht!

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\,\frac{xk}{k+1} = x\cdot\lim_{k\to\infty}\,\frac{k}{k + 1} = x\cdot 1 = x. \end{eqnarray*}$

x ist ja eine Konstante und somit unabhängig von k.

01.02.2009, 20:41

fisch10

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klar ich kann ja x rausziehen oh vogelwild und dann kann ich zu ende rechnen!!!!!
so ein mist. nur wenn du mir das nicht gezeigt hättest wär ich in 100 jahren nicht drauf gekommen... deswegen meinte ich das man evtl das ergebnis auch mal sagen könnte....

04.02.2009, 16:49

WebFritzi

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Das ist einfachster Schulstoff, den man auf der Hochschule erwarten können muss. Im Schulmathematik-Forum wäre das etwas anderes.

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