Integration durch Substituion

31.01.2009, 10:47	eisfeld2k1	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substituion Hi, im Grunde verstehe ich wie es funktioniert aber mir ist eins ungewiss. $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~cos(\frac{x}{3}) ~dx \end{eqnarray}$ Laut Buch nehme ich dann $\begin{eqnarray} u=\frac{x}{3} = \frac{du}{dx} = -3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx=\frac{du}{-3} \end{eqnarray}$ Dann kommt: $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~cos(\frac{x}{3})~dx = \int_{b}^{a}~cosu(\frac{du}{-3})~dx \end{eqnarray}$ Wie geht es ab da weiter, der nächste schritt ist mir unklar !
31.01.2009, 11:05	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du nimmst die Substitution wie angegeben. Dann musst du auch noch das Differential " $\begin{eqnarray} \dd x \end{eqnarray}$ " anpassen, denn du ersetzt ja gerade alles was mit " $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ " im Integral war durch deine neue Variable. Also du nimmst die Substitution $\begin{eqnarray} u=\frac{x}{3} \end{eqnarray}$ Eigentlich ist das eine Funktion mit Namen $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ die von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt. Nun um das Differential angepasst zu bekommen, leiten wir $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ab [mit der Differentialschreibweise nach Leibniz]: $\begin{eqnarray} \frac{\dd u(x)}{\dd x}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Nun kommt eine symbolische (!) Umformung [das heisst es ist garnicht so klar wieso man das überhaupt machen darf...]: $\begin{eqnarray} 3\dd u=\dd x \end{eqnarray}$ So, nun das " $\begin{eqnarray} \dd x \end{eqnarray}$ " im Intergral ersetzen: $\begin{eqnarray} \int\cos\left(\frac{x}{3}\right)\dd x =\int\cos(u)3\dd u \end{eqnarray}$ Bedenke aber, du musst die Grenzen noch anpassen ! Das hast du vergessen. Alternativ suchst du so erstmal eine Stammfunktion, ersetzt dann alles mit "u" wieder zurück zu "x" und kannst die alten Grenzen nutzen.
31.01.2009, 11:16	eisfeld2k1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das verstehe ich dann, die Grenzen sind in der Aufgabe nicht gefragt, das Ergbniss lautet aber: $\begin{eqnarray} F(x)=3sin\frac{x}{3} \end{eqnarray}$ Wenn ich aber cos ableite, erhalte ich -sin. Wie komme ich auf das Ergbniss dann ?
31.01.2009, 11:18	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist richtig. Du sollst ja auch nicht den Kosinus ableiten Es muss schliesslich $\begin{eqnarray} F'(x)=\cos(x) \end{eqnarray}$ gelten und das kannst du mit Sicherheit leicht nachrechnen.
31.01.2009, 11:33	eisfeld2k1	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke !

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