Anfangswertproblem mit Laplace-Transformation lösen

31.01.2009, 12:42	findus170	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem mit Laplace-Transformation lösen Hallo, ich soll ein AWP mit Laplace lösen, vom Prof gibts dankenswerter Weise eine Lösung, nur erscheint sie mir falsch... http://img177.imageshack.us/img177/1509/aufgabegm2.jpg Zum einen unterscheiden sich die Zähler der beiden Lösungen, zum anderen finde ich in der Korrespondenztabelle nicht die richtige Entsprechnung zur Rücktransformation (ich verwende die Formelsammlung von L. Papula). Habt Ihr da einen Tipp für mich? Danke Findus
01.02.2009, 14:14	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem mit Laplace-Transformation lösen Als Aufgabe sollte da zunächst folgende DGL stehen: $\begin{eqnarray} y'' + 4y' +13y = 0 \end{eqnarray}$ Ohne das 13 rechnet ihr beide falsch, denn es ist ja: $\begin{eqnarray} L(13)(s) = \frac{13}{s} \end{eqnarray}$ Nun ist (ich schreibe hier y statt f): $\begin{eqnarray} L(4y')(s) = 4 \cdot L(y')(s) = 4s \cdot L(y)(s) - 4 \cdot y(0) = 4s \cdot L(y)(s) - 4 \end{eqnarray}$ Damit müsste die Zeile nach Tansformation der DGL in den Bildbereich richtig lauten: $\begin{eqnarray} L(s) \cdot (s^2 + 4s + 13) - f(0) \cdot (s + 4) - f'(0) = 0 \end{eqnarray}$ Das Ergebnis stimmt mit deiner Formeleinsetzung dann überein. Zur Rücktransformation verwendest du entweder eine bessere Tabelle oder rechnest ein bisschen: Zunächst Partialbruchzerlegung via: $\begin{eqnarray} \frac{s + 5}{s^2 + 4s + 13} = \frac{s + 5}{(s + 2 - 3i)(s + 2 + 3i)} \stackrel{!}{=} \frac{A}{s + 2 - 3i} + \frac{B}{s + 2 + 3i} \end{eqnarray}$ Die beiden entstehenden, einfacheren Summanden lassen sich mit der Grundformel zurücktransformieren (und dann kannst du noch geeignet zusammenfassen). Grüße Abakus edit: Mit dem Dämpfungssatz könntest du - ggf. geschickter - natürlich auch folgendes sehen: $\begin{eqnarray} L(f(t))(s) = \frac{s + 5}{(s + 2)^2 + 9} \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} L(e^{2t} \cdot f(t))(s) = \frac{s + 3}{s^2 + 9} \end{eqnarray}$ Für die letztere Bildfunktion kannst du mit den Formeln für sin bzw. cos leicht die Urbildfunktionen finden und es damit lösen.
01.02.2009, 18:30	findus170	Auf diesen Beitrag antworten »
Au ja, das y hab ich unterschlagen... Kein Wunder, dass niemand so leicht eine Lösung findet. Danke für den Spürsinn. mfg Findus

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