Koordinatenermittlung

31.01.2009, 18:22

Dalice66

Koordinatenermittlung

H Leute,
ich habe eine Frage zur Aufgabe 2e) vom Zettel. Ich habe absolut keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen soll. Ich weiß, wie man einen Einheitsvektor und wie man das Skalarprodukt eines Vektors errechnet. Nur weiß ich nicht, wie ich auf den Richtungsvektor SQ' komme. Da der Einfallswinkel gleich dem Ausfallwinkel ist,beträgt der Winkel Alpha 32,31°. Die Abstandsberechnung zweier Geraden fällt m. E. auch flach. Könnt ihr mir helfen?

[attach]9719[/attach]

31.01.2009, 19:47

mYthos

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Hinweis: Hinlaufender und reflektierter Lichstrahl befinden sich in einer Ebene, die senkrecht zur Ebene des Spiegels steht.

Lege durch Q eine zu dem Spiegel (E) parallele Ebene und schneide sie mit der Normalen durch den Punkt S. Der damit erhaltene Normalenfußpunkt ist der Mittelpunkt der Strecke Q'Q.

Die Ermittlung des Winkels $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist nicht notwendig.

mY+

01.02.2009, 10:37

Dalice66

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Hi Mythos,
woher weißt du, dass hinlaufender und reflektierender Lichtstrahl sich in einer Ebene befinden, die sich senkrecht zur Ebene des Spiegels sich befindet? Das war nämlich mein größter Problem...Ich fand darauf keinen Hinweis.

01.02.2009, 11:06

Dalice66

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Hi Mythos,
ich habe mir den Text nochmal vorgenommen und gesehen, dass diese Information im Text steht...

Forum Kloppe

01.02.2009, 12:01

mYthos

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Das allein ist jedoch noch nicht alles. Wichtig ist noch die Ermittlung des Durchstoßpunktes der Normalen mit der Parallelebene. Damit ist dann die Lösung nicht mehr weit. Bist du darauf gekommen?

mY+

01.02.2009, 13:25

Dalice66

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dauert noch....

01.02.2009, 20:33

riwe

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eine vektorielle variante pur:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OQ}^\prime=\overrightarrow{OQ}+2(\frac{\vec{n}}{n^2}\cdot(\vec{n}\cdot\overrightarrow{SQ})-\overrightarrow{SQ})\to Q^\prime(-14/3/4) \end{eqnarray*}$

mit dem normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der ebene und mit hilfe des skalarproduktes/winkels der beiden vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SQ} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SP} \end{eqnarray*}$ ,
der rest sollte aus dem bilderl ersichlich sein smile

02.02.2009, 16:16

Dalice66

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Hi riwe,
kannste mir mal deine Formel aufdröseln. Ich verstehe die nicht...

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OQ'}=\overrightarrow{OQ}+2.... \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass sich eine Geradengleichung aus einem Aufpunkt, Lambda und einen Richtungsvektor zusammensetzt. Da wir hier einen Punkt haben wollen, muss Lambda einen festen Wert haben, soviel ist schon mal sicher. Warum ist der 2? Den Kram dahinter kann ich mir nicht zusammenreimen. Ich versuche es jetzt mal. Dauert nur ein wenig....

02.02.2009, 16:24

mYthos

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Warum gefällt dir der Weg über die Parallelebene nicht? Der ist einfach, braucht keinen Winkel oder Skalarprodukt und erfordert nur 3 Zeilen max.

Aber suum cuique! (Jedem das Seine).

mY+

02.02.2009, 16:36

riwe

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weil du so nett frägst smile

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OQ}^\prime=\overrightarrow{OQ}+2\cdot\overrightarrow{QP} \end{eqnarray*}$

das sollte an hand des bilderl klar sein, elementare vektoraddition

ebenfalls:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{QP}=\overrightarrow{SP}-\overrightarrow{SQ} \end{eqnarray*}$

der vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SP} \end{eqnarray*}$ zeigt in richtung des normalenvektors, seine länge entspricht der projektion des betrags des vektors $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SQ} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SP} \end{eqnarray*}$
daher

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SP}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot|\overrightarrow{SQ}|\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

und letztendlich gilt ja:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{\vec{n}\cdot\overrightarrow{SQ}}{|\vec{n}|\cdot|\overrightarrow{SQ}|} \end{eqnarray*}$

wenn du alles ein- bzw. ersetzt, bist du am ziel, ohne $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ berechnet zu haben smile

02.02.2009, 16:46

Dalice66

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Hi Mythos,
viele Wege führen nach Rom. Ich entscheide mich für den für mich einleuchtenderen. Ich fange ja auch gerade erst an und werde beide Wege machen. Also, nach meinem Verständnis brauche ich doch

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{n}|=\sqrt{65} \end{eqnarray*}$ ...

(bin erstmal weg)

02.02.2009, 19:08

mYthos

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Zitat:

Original von Dalice66
...
Ich entscheide mich für den für mich einleuchtenderen.
...

Wozu hast du dich nun entschieden? Den Betrag des Normalvektors braucht man in jedem Falle nicht unbedingt (bei werner wohl dessen Quadrat), aber wie gesagt, rechne doch erst mal ... so lange sind auch wir erst mal weg Big Laugh

mY+

02.02.2009, 21:32

Dalice66

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Ok,
Ebene durch den Punkt Q...

$\begin{eqnarray*} e:-6x_1-5x_2+2x_3-77=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(S;P)=\overrightarrow{0S}+\lambda \overrightarrow{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(S;P)=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} -6 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g (x_1=4-6\lambda x_2=5-5\lambda x_3=-2+2\lambda ) \end{eqnarray*}$

nach dem Rechnen erhalte ich für Lambda den Wert 2, in g:

$\begin{eqnarray*} S_{e(Q)}(-8|-5-|2)=P \end{eqnarray*}$

Soweit ok?

02.02.2009, 21:54

mYthos

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Zitat:

Original von Dalice66
...
$\begin{eqnarray*} S_{e(Q)}(-8|-5-|2)=P \end{eqnarray*}$

Soweit ok?

, stimmt, nur ist am Ende ein Schreibfehler, es ist

$\begin{eqnarray*} S_{e(Q)}(\ -8 \ | -5 \ | \ 2) \end{eqnarray*}$

Und Q' folgt somit sofort.
Könntest du auch mittels werner's Hinweisen zum Resultat kommen?

mY+

02.02.2009, 22:15

Dalice66

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Ok,
der Rest zu Q' ist lau...

$\begin{eqnarray*} 0Q'=\overrightarrow{0Q}+2*\overrightarrow{QP} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q'(-14|3|4) \end{eqnarray*}$

Werners Ansatz mache ich wohl morgen, dass wird mir sonst zu spät, aber nach einer ersten Analyse müsste ich das auch hinbekommen....

Prost

02.02.2009, 22:55

mYthos

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paaaasst

mY+

03.02.2009, 16:15

Dalice66

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So,
ich habe nochmal Werners Ansatz unter die Lupe genommen. Logisch erscheint

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SP}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot|\overrightarrow{SQ}|\cdot%20cos\alpha \end{eqnarray*}$

Wir haben Einheitsvektor und Länge, nur warum noch cos a???

03.02.2009, 18:32

mYthos

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Wir wollen ja $\begin{eqnarray*} \cos \alpha \end{eqnarray*}$ nicht berechnen, sondern dessen Wert einfach aus der anderen Beziehung gewinnen und ihn ersetzen.

Aus der Definition des Skalarproduktes ersehen wir

$\begin{eqnarray*} \vec{n}\cdot\overrightarrow{SQ}=|\vec{n}|\cdot|\overrightarrow{SQ}| \cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{\vec{n}\cdot\overrightarrow{SQ}}{|\vec{n}|\cdot|\overrightarrow{SQ}|} \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------
Setzen wir letzteres nun in

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SP}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot|\overrightarrow{SQ}|\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

ein, so kommt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SP}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot|\overrightarrow{SQ}|\cdot \frac{\vec{n}\cdot\overrightarrow{SQ}}{|\vec{n}|\cdot|\overrightarrow{SQ}|} \end{eqnarray*}$

und nach Kürzen und Anordnen

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SP}=\frac{\vec{n}\cdot\overrightarrow{SQ}}{|\vec{n}|^2}\cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------
Achtung! Die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ in den Zählern dürfen nicht miteinander multipliziert werden, weil der eine (links) in das skalare Produkt eingebunden ist! Bei richtiger Rechnung hat der Bruch den Wert 2.

Nun setze in das letztere Resultat deine gegebenen Werte ein ...

mY+

03.02.2009, 19:52

riwe

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Zitat:

Original von Dalice66
So,
ich habe nochmal Werners Ansatz unter die Lupe genommen. Logisch erscheint

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SP}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot|\overrightarrow{SQ}|\cdot%20cos\alpha \end{eqnarray*}$

Wir haben Einheitsvektor und Länge, nur warum noch cos a???

wie ich dir schon hingemalt habe

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{SQ}|\cdot%20cos\alpha \end{eqnarray*}$

ist die LÄNGE/ der betrag des vektors $\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{SP}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ seine richtung

die rechnung hat ja mythos schon durchgeführt smile

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