Grenzwert "subadditive" Folge

31.01.2009, 18:27

Felix

Grenzwert "subadditive" Folge

Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_n}{n} \to inf~ \frac{\alpha_n}{n} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \alpha_{n+n} \leq \alpha_n + \alpha_m \end{eqnarray*}$ gilt.

Setzt man $\begin{eqnarray*} \alpha_n = ln~a_n \end{eqnarray*}$ so hat man:

$\begin{eqnarray*} ln~\sqrt[n]{a_n} \to inf~ ln~\sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ da ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_n} \to inf~\sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ , muss man nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auch eine subadditive Folge ist (dh. $\begin{eqnarray*} a_{n+m} \leq a_n +a_m \end{eqnarray*}$ ). Genau hier liegt das Problem. Warum sollte das gelten verwirrt

Kann mir jemand weiterhelfen?

lg

31.01.2009, 19:16

JustPassingBy

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RE: Grenzwert "subadditive" Folge
Hm, die resultierende Folge ist auf den ersten Blick für mich lediglich "submultiplikativ".

Ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} ln~a_{n+m} \leq ln~{a_n+a_m} \leq ln~{a_n} ln~{a_m} \end{eqnarray*}$

Wenn wir uns jetzt mal die Folge
1, 2, $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , 0, 0, 0, ...
betrachten.

Diese Folge ist subadditiv
$\begin{eqnarray*} 2 \leq 1+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e \leq 2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \end{eqnarray*}$ alles mögliche

Allerdings $\begin{eqnarray*} ln~{\pi} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln~{1}+ln~{2} = ln~{2} < 1 = ln~{e} \end{eqnarray*}$ .

31.01.2009, 19:43

kiste

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RE: Grenzwert "subadditive" Folge

Zitat:

Original von JustPassingBy
Allerdings $\begin{eqnarray*} ln~{\pi} = 1 \end{eqnarray*}$

scnr

31.01.2009, 21:46

JustPassingBy

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Öhm ja, ich mene natürlich e.

Anfangs hatte ich überall pi stehen, bis ich gemerkt habe, dass es vollkommener Stuss ist. ^^

31.01.2009, 22:02

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Warum überhaupt Logarithmen? Durch Induktion folgt schnell

$\begin{eqnarray*} \alpha_{m+kn} \leq \alpha_m + k\alpha_n \qquad (*) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Offenbar interessiert hier eigentlich die Folge $\begin{eqnarray*} \beta_n := \frac{\alpha_n}{n} \end{eqnarray*}$ , für die folgt dann aus (*)

$\begin{eqnarray*} \beta_{m+kn} \leq \frac{m}{m+kn}\beta_m + \frac{kn}{m+kn}\beta_n \end{eqnarray*}$ ,

im Limes Superior also

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to\infty} \beta_{m+kn} \leq 0+ \beta_n \end{eqnarray*}$ ,

und das für alle $\begin{eqnarray*} m=0,1,\ldots,k-1 \end{eqnarray*}$ , also auch

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{j\to \infty} \beta_j \leq \beta_n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man das Infimum über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bilden:

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{j\to \infty} \beta_j \leq \inf\limits_n \beta_n \end{eqnarray*}$ .

Zusammen mit den auch ohne Subadditivität allgemein geltenden Folgeneigenschaften $\begin{eqnarray*} \inf\limits_n \beta_n \leq \liminf\limits_{n\to\infty} \beta_n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \liminf\limits_{n\to\infty} \beta_n \leq \limsup\limits_{n\to\infty} \beta_n \end{eqnarray*}$ ergibt sich am Ende die nette Ungleichungskette

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{n\to\infty} \beta_n \leq \inf\limits_n \beta_n \leq \liminf\limits_{n\to\infty} \beta_n \leq \limsup\limits_{n\to\infty} \beta_n \end{eqnarray*}$ . smile

01.02.2009, 15:16

Felix

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Für $\begin{eqnarray*} \sqrt[n] {a_n} \to inf \sqrt[n] {a_n} \end{eqnarray*}$ ist ja die "submultiplikativität" hinreichend Big Laugh

. Das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht "subadditiv" sein kann war ja offensichtlich und genau das hat mir so Kopfzerbrechen bereitet unglücklich

@ Arthur

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} \limessup\limits_{k\to \infty} \beta_{m+kn} \end{eqnarray*}$ ? Oder das Infimum über n?
Hab das Infimum und den limes sup/inf noch nie so verwendet gesehen ...

lg

01.02.2009, 15:34

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Soll das jetzt heißen, du kennst die Operatoren "Limes Superior" bzw. "Infimum" nicht? Also die erkläre ich jetzt nicht, da gibt es andere Quellen.

Ebenso wie "Limes Inferior" sowie "Supremum" existieren diese Werte für alle reellen Zahlenfolgen, allerdings unter Zulassung der "Werte" $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ (außer für "Supremum") sowie $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ (außer für "Infimum").

Und sie sind sämtlich monoton: Soll heißen, für Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ folgt < für diese 4 Operatoren.

01.02.2009, 16:26

Felix

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Nein die Begriffe grundsätzlich kenne ich schon. Ich weiß allerdings nicht was man unter $\begin{eqnarray*} \inf\limits_n \beta_n \end{eqnarray*}$ versteht. Wo liegt der Unterschied zu $\begin{eqnarray*} inf \beta_n \end{eqnarray*}$ ?
Ebenso kenne ich den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ nicht verwirrt

01.02.2009, 16:53

JustPassingBy

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Durch diese kleine Unterschiede drückt der Mathematiker seine Faulheit aus.

01.02.2009, 17:21

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Wobei in diesem Fall nicht der Mathematiker das Faultier war. Augenzwinkern

Die genannten Operatoren OHNE Kennzeichnung sind, wenn wir mal Faulheit außen vor lassen, ganz einfach Bullshit: Wie soll man denn an denen erkennen, worüber gerade Infimum/... gebildet wird??? Dass du diese Frage so überhaupt stellst, lässt mich ernsthaft zweifeln, ob du die Operatoren wirklich vestanden hast. unglücklich

Wenn ich z.B. nur $\begin{eqnarray*} \limsup \beta_{m+kn} \end{eqnarray*}$ geschrieben hätte: Woran soll man denn erkenn, ob nun über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Grenzprozess gebildet wird? Über alle? Das war nicht meine Absicht.

Bei inf/sup wäre immerhin noch die Mengenschreibweise äquivalent, also z.B.

$\begin{eqnarray*} \inf\limits_n \beta_n = \inf \{ \beta_n \bigm| n\in\mathbb{N} \} \end{eqnarray*}$ ,

was bei liminf/limsup so nicht geht.

01.02.2009, 18:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
was bei liminf/limsup so nicht geht.

Stimmt. Aber immerhin gilt

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\, a_n = \lim_{n\to\infty}\,\sup_{m\ge n}a_m = \lim_{n\to\infty}\,\sup\,\{a_m : m\ge n\}. \end{eqnarray*}$

01.02.2009, 18:13

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Deswegen ja das "so nicht geht" statt des "nicht geht". Augenzwinkern

01.02.2009, 18:30

WebFritzi

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So so.

OK, wollt nur mal wieder meinen Senf dazugeben.

02.02.2009, 18:05

Felix

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Zitat:

Die genannten Operatoren OHNE Kennzeichnung sind, wenn wir mal Faulheit außen vor lassen, ganz einfach Bullshit: Wie soll man denn an denen erkennen, worüber gerade Infimum/... gebildet wird??? Dass du diese Frage so überhaupt stellst, lässt mich ernsthaft zweifeln, ob du die Operatoren wirklich vestanden hast.

Ich hab sie nur in der Form kennengelernt. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann ist diese Kennzeichnung genau dann nötig, wenn man mehrere "Buchstaben" in der Indizierung hat. Und das ist so, weil z.b die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_{kn}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ und festem k und $\begin{eqnarray*} (a_{kn}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ und festem n zwei verschiedene Teilfolgen der Folge $\begin{eqnarray*} (a_j) \end{eqnarray*}$ sind verwirrt

(natürlich vorrausgesetzt, dass k und n als multiplikative Konstanten ungleich sind)

Warum aber gilt :

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to \infty} ~ \beta_{m +kn}\geq 0 + \beta_n \end{eqnarray*}$ ?

lg

02.02.2009, 18:18

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Dann hast du das ziemlich falsch kennengelernt: Die Angabe des Laufindex sollte die Regel sein, und nur in Ausnahmefällen weggelassen werden.

Zitat:

Original von Felix
Warum aber gilt :

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to \infty} ~ \beta_{m +kn}\geq 0 + \beta_n \end{eqnarray*}$

Falsch zitiert - Relationszeichen bitte andersherum! Forum Kloppe

Ich hab doch gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ monoton ist:

D.h., aus $\begin{eqnarray*} u_k \leq v_k \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to\infty} u_k \leq \limsup\limits_{k\to\infty} v_k \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wende ich das an auf $\begin{eqnarray*} u_k=\beta_{m+kn} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_k=\frac{m}{m+kn}\beta_m + \frac{kn}{m+kn}\beta_n \end{eqnarray*}$ .

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to\infty} v_k = \lim\limits_{k\to\infty} v_k \end{eqnarray*}$ , sofern der Grenzwert rechts existiert. Und das lässt sich für dieses $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$ hier leicht überprüfen bzw. dann auch berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \left( \frac{m}{m+kn}\beta_m + \frac{kn}{m+kn}\beta_n \right) = \lim\limits_{k\to\infty} \frac{m}{m+kn}\beta_m + \lim\limits_{k\to\infty} \frac{kn}{m+kn}\beta_n = \beta_m\cdot \lim\limits_{k\to\infty} \frac{m}{m+kn} + \beta_n \cdot \lim\limits_{k\to\infty} \frac{kn}{m+kn} = \beta_m\cdot 0 + \beta_n \cdot 1 = \beta_n \end{eqnarray*}$

Wenn ich das noch weiter zerlegen muss, krieg ich die Krise... Beim nächsten Umformungsschritt denkst du mal länger nach, Ok? Augenzwinkern

03.02.2009, 14:46

Felix

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Zitat:

Original von Arthur Dent

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to\infty} \beta_{m+kn} \leq 0+ \beta_n \end{eqnarray*}$ ,

und das für alle $\begin{eqnarray*} m=0,1,\ldots,k-1 \end{eqnarray*}$ , also auch

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{j\to \infty} \beta_j \leq \beta_n \end{eqnarray*}$ .

Meinst du da wirklich $\begin{eqnarray*} m=0,1,\ldots,k-1 \end{eqnarray*}$ oder doch $\begin{eqnarray*} m=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ ? ( k ist ja gar kein fixer Wert außerdem würde n-1 meiner Meinung nach mehr Sinn ergeben verwirrt

)

Was den Teil mit dem Infimum über n angeht, kann man es deshalb bilden weil $\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{j\to \infty} \beta_j \leq \beta_n \end{eqnarray*}$ ja für beliebige n gilt ?

Ja ich hätte ein bisschen länger nachdenken können Ups

. Der Wert des lim war mir auch bewusst - gefehlt hat es an dem "Einfall", dass der lim sup gleich dem Grenzwert ist falls dieser existiert. Ich war irgendwie viel zu viel damit beschäftigt über die Kennzeichnung des limes superior/inferior nachzudenken ( und darüber warum das in meinem Analysisbuch nie erwähnt wurde unglücklich

)

lg und vielen Dank für die unermüdliche Hilfe Augenzwinkern

03.02.2009, 15:29

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Zitat:

Original von Felix
Meinst du da wirklich $\begin{eqnarray*} m=0,1,\ldots,k-1 \end{eqnarray*}$ oder doch $\begin{eqnarray*} m=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ ? ( k ist ja gar kein fixer Wert außerdem würde n-1 meiner Meinung nach mehr Sinn ergeben verwirrt

)

Gut aufgepasst, und ebensogut begründet! Da habe ich mich tatsächlich verschrieben, dort sollte $\begin{eqnarray*} m=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ stehen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Felix
Was den Teil mit dem Infimum über n angeht, kann man es deshalb bilden weil $\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{j\to \infty} \beta_j \leq \beta_n \end{eqnarray*}$ ja für beliebige n gilt ?

Ja: Links steht eine von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige Zahl. Man könnte also verdeutlichend schreiben

$\begin{eqnarray*} C \leq \beta_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} C:=\limsup\limits_{j\to \infty} \beta_j \end{eqnarray*}$ ist.

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