Kommutatoruntergruppe, Zentrum

06.09.2006, 23:12	algebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutatoruntergruppe, Zentrum Hallo zusammen! hab folgende Frage: also D4 = Diedergruppe und H = Quaternionengruppe sind nicht abelsche Gruppen G. Warum gilt K(G) = Z(G) =S2 ? (K(G)=Kommutatoruntergruppe von G, Z(G)=Zentrum von G, S2=symm. Gruppe) also ich hab mir folgendes überlegt: Ordnung des Zentrums kann nur p oder p^2 sein, wobei p eine Primzahl ist. p^2 kanns nicht sein, denn dann ord(G/Z(G))=p^2 / p = p , und damit ist die Gruppe abelsch, ist natürlich Widerspruch, weil D4 und H nicht abelsch sind. Also muss ord(Z(G))=p sein. Also ist Z(G) isomorph zur zykl. Gruppe C2=S2. Aber wie zeige ich, dass K(G)=Z(G) ist?? hat jemand eine Idee??
07.09.2006, 23:27	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hol dich mal aus den Tiefen des Algebraboards in die HöMa. Verschoben
08.09.2006, 13:15	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht schwer. Zeige erst das $\begin{eqnarray} Z(G) \leq K(G) \end{eqnarray}$ gelten muss. Als zweites zeigst du das $\begin{eqnarray} K(G) \end{eqnarray}$ keine weitere Elemente haben kann das also auch $\begin{eqnarray} K(G) \leq Z(G) \end{eqnarray}$ gilt.
08.09.2006, 16:28	algebra	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich probiers noch mal: ich hab ja gezeigt, dass Z(G) p sein muss. also G/Z(G) ist abelsch (weil [G:Z(G)]=P^2, und wir haben schon mal bewiesen, dass Gruppen der Primzahlquadratordnung abelsch sind) daraus folgt (????) dass K(G) eine Untergruppe von Z(G) ist. Da K(G) nicht-triviale Untergruppe ist, folgt (???) dass K(G)=Z(G). stimmt das??
09.09.2006, 12:55	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich es mir anfangs vorgestellt hab gehts wohl doch nicht Aber ich hab nochmal ein bischen nachgeschmökert: $\begin{eqnarray} K(G) \end{eqnarray}$ ist der kleinste Normalteiler so dass $\begin{eqnarray} G/K(G) \end{eqnarray}$ abelsch ist. Damit haben wir schonmal $\begin{eqnarray} K(G)\not = \{e\} \end{eqnarray}$ sonst wäre G abelsch. Sei nun $\begin{eqnarray} K(G) = S_2 \end{eqnarray}$ . Jetzt ist erstmal zu zeigen das $\begin{eqnarray} K(G) \end{eqnarray}$ Normalteiler ist. Ich bin der Meinung das kann man nur zu Fuss machen, vielleicht findest du ja noch was Einfacheres. Dann folgt wegen $\begin{eqnarray} \|G/K(G)\| = \|G : K(G)\| = 4 \end{eqnarray}$ , das $\begin{eqnarray} G/K(G) \end{eqnarray}$ abelsch ist. (Beide Gruppen der Ordnung 4 sind abelsch.)

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