Beweis vom binomischen Lehrsatz

06.09.2006, 23:12

gessi

Beweis vom binomischen Lehrsatz

Ich habe versucht, den Beweis vom binomischen Lehrsatz im Forster nachzuvollziehen. An einer Stelle komme ich jedoch nicht weiter:

Es wird wie folgt umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~{\binom {n}{k}x^{n-k}y^{k+1}} = \sum_{k=1}^{n+1}~{\binom {n}{k-1}x^{n+1-k}y^k} \end{eqnarray*}$

Darüber steht noch etwas von der Regel zur Indexverschiebung:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a_{k+1} = \sum_{k=1}^{n+1}~a_k \end{eqnarray*}$

Danach würde ich jedes n zu n+1 und jedes k+1 zu k bzw. k zu k-1 machen. So fände ich es auch logisch.
Aber wenn ich das auf mein Beispiel anwende, bekäme ich ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~{\binom {n+1}{k-1}x^{n+1-k+1}y^{k}} \end{eqnarray*}$ und das ist nicht das, was dasteht.

Habe ich diese Index-Verschiebung falsch verstanden oder kann man $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~{\binom {n+1}{k-1}x^{n+1-k+1}y^{k}} \end{eqnarray*}$ irgendwie umformen in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~{\binom {n}{k-1}x^{n+1-k}y^k} \end{eqnarray*}$ ?

Ich versuche schon eine Weile, mit der Definition vom Binomialkoeffizienten und viel Rumrechnen diesen Schritt zu verstehen, aber leider bisher vergeblich...

06.09.2006, 23:18

therisen

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RE: Beweis vom binomischen Lehrsatz

Zitat:

Original von gessi
Es wird wie folgt umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~{\binom {n}{k}x^{n-k}y^{k+1}} = \sum_{k=1}^{n+1}~{\binom {n}{k-1}x^{n+1-k}y^k} \end{eqnarray*}$

Darüber steht noch etwas von der Regel zur Indexverschiebung:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a_{k+1} = \sum_{k=1}^{n+1}~a_k \end{eqnarray*}$

Danach würde ich jedes n zu n+1 und jedes k+1 zu k bzw. k zu k-1 machen. So fände ich es auch logisch.

Der rot markierte Teil ist falsch. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a_{k+1} = \sum_{k=1}^{n+1}~a_k \end{eqnarray*}$ macht doch klar, dass nur die Laufvariable k von der Indexverschiebung betroffen ist. Verringere einfach k um 1 und vereinfache.

Gruß, therisen

06.09.2006, 23:34

gessi

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RE: Beweis vom binomischen Lehrsatz
Dankeschön!

Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a_{k+1} = \sum_{k=1}^{n+1}~a_k \end{eqnarray*}$ macht doch klar, dass nur die Laufvariable k von der Indexverschiebung betroffen ist. Verringere einfach k um 1 und vereinfache.

Das gilt dann immer so, oder?
Ich glaube, mich hat es irritiert, weil in der Formel mit der Regel kein n mehr hinter dem Summenzeichen steht.

Kann man also sagen (banal formuliert): "Was ich von der Laufvariable hinter dem Summenzeichen abziehe, muss ich beim n über dem Summenzeichen dazuzählen, n hinter dem Summenzeichen bleibt unverändert"?

Also in Symbolen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~nk = \sum_{k=m}^{n+m}~n(k-m) \end{eqnarray*}$ ?

06.09.2006, 23:53

therisen

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Korrekt

06.09.2006, 23:54

Lazarus

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ja.

Man könnte das n sogar aus der summe rausziehen, da es die Laufvariable k nicht enthält.
dann ist auch klarer was man ändern muss.

Des geht halt leider beim Binomischen Lehrsatz nicht weil des n da in den Bin.Koeffz. "eingesperrt" ist, aber im Przinip ist es ja des gleiche Augenzwinkern

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